C语言基础：杨辉三角
杨辉三角简介：
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。
二项式定理：
杨辉三角是二项式（x+y）^n展开后各项的系数。
比如：
（a+b）^0展开后是为1，系数为1；
（a+b）^1展开后是为a+b，系数为1,1；
(a+b）^2展开后是为a^2+2ab+b^2，系数为1,2,1；
(a+b）^3展开后是为a^3+3a^2b+3ab^2+b^3，系数为1,3,3,1；
(a+b）^4展开后是为a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4，系数为1,4,6,4,1；
.............
打印杨辉三角：
1.1：找规律：
杨辉三角各行的系数有如下规律：
（1）：各行的第一个数是1，最后一个数也是一。
（2）：每一行的个数等于该行行数 。
（3）：从第三行起。除第一个数和最后一个数外，中间的数都是等于它上一行前一列的数和上一行本列数之和。
1.2：根据规律一步一步实现：
1.2.1 实现各行的第一个数是1，最后一个数也是一：
#include
#define N 10
int main()
{
int arr[N][N] = { 0 }; //要先初始化
int i = 0;//行数
int j = 0;//列数
for (i = 0; i < N; i++)
{
arr[i][0] = 1; //每行首元素是 1
for (j = 0; j <= i; j++)//为啥j<=i呢？因为每一行的个数（每一列多少个=j)
//等于该行行数 (i)
{
if (i == j)
arr[i][j] = 1; //每行末位是 1
}
}
//打印出来看看上面写的对不对
for (i = 0; i < N; i++)
{
for (j = 0; j <= i; j++)
{
printf("%d ", arr[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
} 调试结果如下：
当然，现在还只是直角三角形的形式，后面我们会插入空格形成等腰三角形的形式。
1.2.2：处理中间元素 ：
根据规律（3）：从第三行起。除第一个数和最后一个数外，中间的数都是等于它上一行前一列的数和上一行本列数之和。我们可以怎么写成代码形式呢？
我们先举例子：
第4行第2个数（3）=第3行第2个数（2）+第3行第一个数（1）；
i表示行，j表示列，是不是i>=2时（i从0开始的）表示从第三行起：
有 arr[ i ][ j ]=arr[ i-1 ][ j ]+arr[ i-1 ][ j-1 ]
#define N 10
int main()
{
int arr[N][N] = { 0 }; //要先初始化
int i = 0;//行数
int j = 0;//列数
for (i = 0; i < N; i++)
{
arr[i][0] = 1; //每行首元素是 1
for (j = 0; j <= i; j++)//为啥j<=i呢？因为每一行的个数（每一列多少个=j)等于该行行数 (i)
{
if (i == j)
{
arr[i][j] = 1; //每行末位是 1
}
if (i >= 2 && j >= 1) //中间元素在第三行第二列才开始有，
//之后每一行的中间元素都要执行。
{
arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j-1];
}
}
}
//打印
for (i = 0; i < N; i++)
{
for (j = 0; j <= i; j++)
{
printf("%d ", arr[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}调试结果如下：
1.3代码精简化：
当然，打印上面一幅图方法有很多啊，比如上面写的代码，最后打印时其实可以在复值完每一行后直接打印这一行的数据，再加个换行符。自己对比一下。
#define N 10
int main()
{
int arr[N][N] = { 0 }; //要先初始化
int i = 0;//行数
int j = 0;//列数
for (i = 0; i < N; i++)
{
arr[i][0] = 1; //每行首元素是 1
for (j = 0; j <= i; j++)//为啥j<=i呢？因为每一行的个数（每一列多少个=j)等于该行行数 (i)
{
if (i == j)
{
arr[i][j] = 1; //每行末位是 1
}
if (i >= 2 && j >= 1) //中间元素在第三行第二列才开始有，之后每一行的中间元素都要执行。
{
arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j-1];
}
printf("%6d", arr[i][j]);//直接打印这一行数据
}
printf("\n");
}
return 0;
}其实在给各行第一个数和最后一个数赋值为1时，可以只用到一个循环 。不需要两个for循环的，函数和列数是相同的，上面的代码是不是要判断if (i == j)，i最后和j是相同的。
下面这段代码也是打印杨辉三角的。
#define N 10
int main()
{
int a[N][N];
int i, j;
for (i = 0; i < N; i++)
{
a[i][i] = 1;//使对角线元素为1；（每一行最后一个元素）
a[i][0] = 1;//第一列元素为1
}
for (i = 2; i < N; i++)//从第三行开始
{
for (j = 1; j <= i - 1; j++)//第三行中间元素是第二列开始，j<=i-1;
//中间元素就是从2列到i-1列的
{
a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i - 1][j - 1];
}
}
//打印
for (i = 0; i < N; i++)
{
for (j = 0; j <= i; j++)
{
printf("%d ", a[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}1.4：打印等腰三角形的杨辉三角：
我们已经得到了如图所示的杨辉三角，想要变成等腰三角形形式只需要在每行打印空格就OK了。
比如我们先把前五行打印好：
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 1 | |||||||||||||||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | ||||||||||||||||
| 1 | 4 | 6 | 5 | 1 | |||||||||||||||
首先我们看最后一行出现了三位数，三位数要占三个字符，所以我们打印使直接分配三个空间，%-3d,左对齐，输出的数字占三个字符的位置。%-3d不理解的话我直接看代码加图吧
int main()
{
int a = 1;
int b = 11;
int c = 111;
printf("0%-3d0\n", a);
printf("0%-3d0\n", b);
printf("0%-3d0", c);
return 0;
}| 0 | 1 | 空格 | 空格 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 空格 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
输出结果就是表格中的一样，左对齐，占三个字符，自己验证一下。
b = 10 - i;
while (b--)
{
printf(" ");
}
比如我们以上面代码形式输入空格，i表示行，i=0时，b=10,10次循环，一次循环输出两个空格，i++,第二行就是2*9个空格，依次计算，最后i=9，输出两个空格
为了输出如上所示的等腰三角形。首先是不是要确保第一个元素在最中间的位置，所以我们先算一算最后一行占了多少个字符空间。
每个元素占三个字符空间，打印一个元素后要加一个空格来保持元素之间不要太密。四个字符空间，第一个元素又打印了两个字符，2+10*4=42；
所以第一个元素要放在42/2=21的位置。第一个元素刚好前面打印20个空格就OK了
代码如下：
#define N 10
int main()
{
int arr[N][N] = { 0 }; //要先初始化
int i = 0;//行数
int j = 0;//列数
int b = 0;
for (i = 0; i < N; i++)
{
arr[i][0] = 1; //每行首元素是 1
b = 10 - i;
while (b--)
{
printf(" ");
}
for (j = 0; j <= i; j++)//为啥j<=i呢？因为每一行的个数（每一列多少个=j)等于该行行数 (i)
{
if (i == j)
{
arr[i][j] = 1; //每行末位是 1
}
if (i >= 2 && j >= 1) //中间元素在第三行第二列才开始有，之后每一行的中间元素都要执行。
{
arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j-1];
}
printf("%-3d ", arr[i][j]);//直接打印这一行数据
}
printf("\n");
}
return 0;
}
调试结果如下：
