二叉树笔记

1. 最近刚学习了二叉树，感觉还有点晕乎，进行一个汇总整理，会比较长，还有点多
   二叉树 一、定义：每个结点最多有两个子树的树结构。（左子树，右子树） 二、用法：常用于实现二叉树查找树、二叉堆。 三、类型：
   1.满二叉树：
   (1) 深度为k,有2^k-1个结点。
   (2)每一层的结点数都是最大结点数。
   (3)叶子结点都处在最底层的二叉树。
   2.完全二叉树：
   (1)除最后一层外，若其余层都是满的，并且或者最后一层是满的，或者是在右边缺少连续若干结点。
   (2).若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布
   (3).具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2n)+1
   (4)深度为k的完全二叉树，至少有2^{(k-1)个叶子结点，至多有(2}k)-1个结点。
   3. 平衡二叉树：又称为AVL树，它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。 四、性质：
   (1) 在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过 2^(n-1) i>=1；
   (2) 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；
   (3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
   (4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1（[ ]表示向下取整）
   (5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
   1）若I为结点编号则 如果I>1，则其父结点的编号为I/2； 如果2I<=N，则其左孩子（即左子树的根结点）的编号为2I；若2I>N，则无左孩子；
   2）如果2I+1<=N，则其右孩子的结点编号为2I+1；若2I+1>N，则无右孩子。
   (6)给定N个结点，能构成h(N)种不同的二叉树。 h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n，n)/(n+1)。
   (7)设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i 四、二叉树遍历
   1.先序遍历DLR：先序遍历的第一个结点是根;前序遍历：根-左-右
   2.中序遍历LDR：已知根结点，根结点左边的值都在根结点的左子树上,根结点右边的值在根节点右子树上;中序遍历：左-根-右
   3.后序遍历LRD: 后序遍历的最后一个结点是根;后序遍历：左-右-根
   4.层序遍历：即按照层次访问，通常用队列来做。访问根，访问子女，再访问子女的子女（越往后的层次越低）（两个子女的级别相同） 二叉排序树：可以为空树，或者是满足以下条件的非空二叉树，
   1.左右子树均是二叉排序树；
   2.左子树的值小于根结点，右子树的值大于根节点 用中序遍历二叉排序树，可以得到一个递增序列。 查找： 输入： 删除：
   1.删除叶子结点：直接删除
   2.结点只有一颗右子树或左子树：将自己的孩子放在自己的位置
   3.结点有既有左子树也有右子树： (1).删除P: p与它直接前驱数据域交换，然后删除它的直接前驱（直接前驱：左子树中第一个比p小的；直接后继：右子树中第一个比p大的； (2).删除p：p
   与它的直接后继数据域交换，然后删除它的直接后继； (3)直至P的直接前驱，直接后继都为单分支结点 直接前驱：r
   小于根结点P,r小于右子树，r是左子树中最大的点 将P中关键字用r替换，删除结点 删除再插入同一个结点，二叉树的形态可能不同：
   (1).删除的是叶子节点：相同； (2)删除的不是叶子节点：不同。 查找： 特例：倾斜的单分支，平均查找长度和单链表一样；
   左右子树高度差不超过1：平均查找长度为O(log2n)； 效率主要与二叉树形态有关。 二分排序判定树唯一，二叉排序树判定树不唯一
   平衡二叉树：AVL树，平衡树也是二叉排序树； 平衡二叉树可以是空二叉树。 (1).
   平衡因子：左子树高度-右子树高度，取（-1，0，1） (2)平衡二叉树左右子树高度之差绝对值不超过1； (3)左右子树都是平衡二叉树；
   (4)插入：看平衡因子，若仍为平衡二叉树，则插入成功；
   否则，插入失败。