数据结构之图

图

图（Graph）是比树还要难以理解和学习的“多对多”数据结构，可以认为树也是图的一种。图的知识点众多，按照存储路径的方向分，可分为无向图和有向图，按照图的存储结构分，可分为完全图与有向完全图、连通图与强连通图、连通分量与强连通分量、无环图与有向无环图，其涉及的算法则包括克鲁斯卡尔算法、普里姆算法、迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法等。如下图所示为图的分类。

与表和树相同，图虽然有“多对多”的逻辑关系，但同样可以使用顺序存储和链式存储有效地保存数据元素：与表和树不同的是，图的顺序存储需要两个数组（包含一个二维教组），链式存储则包括邻接表、邻接多重表和十字链表等。
与表和树不同，图中存储的数据元素不叫节点，我们称其为顶点；若两个顶点直接相连，则称它们互为邻接点：两个顶点及它们中间途径的所有顶点组成的序列称为路径；用字母V表示图中顶点的集合，$V_R$表示图中顶点之间关系的集合。

注意：如果路径的始末点相同，则该路径为“回路”或“环”。

按存储路径方向分类

按存储路径的方向，图分为单向图和双向图。单向/双向图的区别就是看路径上有没有箭头，无箭头（双向）的图为无向图，有箭头（单向）的图为有向图。如下图所示为单向/双向图的分类。

1.无向图

在无向图中（如下图所示），相连的两个顶点互相建立联系，顶点的集合可表示为$V=\{V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7\}$顶点关系的集合可表示为$V_R=\{(V1,V2),(V1,V3),(V2,V4),(V2,V5),(V4,V5),(V3,V6)(V3,V7),(V6,V7)\}$。

2. 有向图

在有向图中（如下图所示），箭头出发的顶点称为“初始点”或“弧尾”，箭头指向的顶点称为“终端点”或“弧头”，指向某一顶点的箭头数称为该顶点的“入度”（InDegree，项点V的入度可表示为 ID(V))，离开某一顶点的箭头数称为该顶点的“出度”（OutDegree，顶点V的出度可表示为 OD（V））。

和无向图不同，在有向图中，各个项点之同的关系是“单向”的。在无向图中，用（V1,V2）表示两个顶点间的二元关系，并将其称为“边”：在有向图中，用＜V1,V2>表示两个顶点间的二元关系，并将其称为“弧”。

按存储结构分类

除了无向图和有向图之外，根据图的存储结构，图又可分为完全图与有向完全图、连通图与强连通图、连通分量与强连通分量、无环图与有向无环图，如下图所示。

1. 完全图与有向完全图

完全图指各顶点与其他顶点均有联系的无向图，满足该条件的有向图即为有向完全图，如下图所示。


一定要分清的是：具有n个顶点的完全图拥有$\frac{n(n-1)}{2}$条边，具有n个顶点的有向完全图拥有n(n-1)条弧。

2.连通图与强连通图

如果图的两个顶点之间至少存在一条路径，则称这两个顶点是连通的。如果无向图中的任意两个顶点都是连通的，则称其为连通图。同理，满足该条件的有向图即为强连通图。如下图所示为连通图与强连通图。


显而易见，完全图一定是连通图，而有向完全图一定是强连通图。

3. 连通分量与强连通分量

如果无向图不是连通图，但其最大连通子图符合连通图的定义，则称该子图为连通外量。同理，满足该条件的有问图即为强连通分量。如下图所示为连通分量与强连通分量示意图。

注意：连通分量的前提是其必须是非连通图。

4. 无环图与有向无环图

无环图就容易理解了，没有回路（环）的无向图都为无环图。同理，满足该条件的有向图即为有向无环图。如下图所示为无环图与有向无环图。