快速幂算法详解

目录

介绍

原理1

实现过程

原理2

取余运算

介绍

快速幂算法的目的就是让计算机很快地求出，暴力相乘的话，电脑要计算b次。用快速幂，计算次数在级别，很实用。

原理1

(1)如果将a自乘一次，就会变成。再把自乘一次就会变成。然后是…自乘n次的结果是 

(2)

(3)将b转化为二进制观看一下：比如b=就是。从左到右，这些1分别代表十进制的8,2,1。可以说。

实现过程

假设我们拿到了a，并且b=11。想求，但是又不想乘11次，有点慢。

·以电脑视角稍稍观察一下b=11，二进制下是b=1011。

·制作一个base。现在base=a，表示的是。待会base会变的。

·制作一个ans，初值为1，用来存放答案。

·循环一：看b（二进制）的最后一位是1吗？ 是的。这代表中的“”存在。所以ans∗=base。

if(b & 1)
	ans *= base;

/*关于 b & 1：
x & y 是二进制 x 和 y 的每一位分别进行“与运算”的结果。
与运算，即两者都为 1 时才会返回 1，否则返回 0。
那么 b & 1

          二进制
b     =    1011
1     =    0001
b&1   =    0001

因为 1（二进制）的前面几位全部都是 0，
所以只有 b 二进制最后一位是 1 时，b & 1 才会返回 1。
挺巧妙的，并且很快。)*/

·然后base努力上升，它通过自乘一次，使自己变成。

base *= base;

同时

b>>=1

它把（二进制的）自己每一位都往右移动了。原来的最后第二位，变成了最后第一位b=。

·循环二，再看看b，最后一位还是1。这说明有“”，ans∗=base。

·base 继续努力，通过base∗=base 让自己变成了。然后b也右移一位b=。

·循环三，可是b的最后一位不再是1了，说明不存在“”.base自我升华，达到了。且b>>=1。这一步中，答案没有增加，可是毕竟b>0，还有希望。

·循环四，b的最后一位是1，这说明“”的存在。ans∗=base。由于b再右移一位就是0了，循环结束。

总的来说，如果b在二进制上的某一位是1，我们就把答案乘上对应的。完整代码如下：

int quickPower(int a, int b)//是求a的b次方
{
	int ans = 1, base = a;//ans为答案，base为a^(2^n)
	while(b > 0)//b是一个变化的二进制数，如果还没有用完
    {
		if(b & 1)//&是位运算，b&1表示b在二进制下最后一位是不是1，如果是：
			ans *= base;//把ans乘上对应的a^(2^n)
		
        base *= base;//base自乘，由a^(2^n)变成a^(2^(n+1))
		b >>= 1;//位运算，b右移一位，如101变成10（把最右边的1移掉了），10010变成1001。现在b在二进制下最后一位是刚刚的倒数第二位。
	}
	return ans;
}

原理2

这是2017年NOIP普及组的完善程序第1题，这里提示的思路和上面不一样。

思路为：若当前p为偶数，只需把x自乘，然后p/=2 ,即考虑下一层，下几层会帮我们乘上

若当前p为奇数，说明中前面那个x存在,ans∗=x。然后继续考虑下一层,下几层会帮我们乘上。注意，这里的x不是指题目开始给出的x，而是当前层的x应有的值，这跟上面的base是一样的。

比如假设我们拿到了x=3，并且p=11。想求。

·第一层循环b=11，一个奇数。将分解为来看。本层只需把ans∗=。后面的到下一层再搞定。下几层的总目标是让ans∗=，也就是让ans∗=。来到下一层的方法是x=3∗3=9且b=11/2=5。

·第二层循环几乎独立于第一层存在。b=5，一个奇数。将分解为来看。本层只需把ans∗=。后面的到下一层再搞定。下几层的总目标是让ans∗=，也就是让ans∗=。于是x=9∗9=81且b=5/2=2。

·第三层循环b=2，不是奇数，只把当作。下几层的总目标是让ans∗=。于是x=81∗81=6561，b=2/2=1。

·第四层循环，b=1，是奇数。这时候已经不用看成什么分解了，ans∗=6561就可完成总目标。b/2 为 0，结束循环。

代码和上面一样。因为b&1与b mod 2==1等效。b/=2与b>>=1等效。

取余运算

快速幂经常要结合取余运算。

取余运算有一些好用的性质，包括：

(A+B) mod b=(A mod b+B mod b) mod b

(A×B) mod b=((A mod b)×(B mod b)) mod b

于是快速幂过程中可以

	while(b > 0)
    {
		if(b & 1)
        {
			ans *= base;
            ans %= m;
    	}
		
        base *= base;
        base %= m;
		b >>= 1;
	}

 能保证这样下来最后的结果与“先乘到最后，再取余”的结果一样。