最强详解离散化算法（包一遍学会）

离散化算法

离散化使用的范围

首先给你一个序列，我们有一些数值，这些数值的范围比较大，值域可能是$[0,10^9]$，但是里面的个数是很少的，个数可能是$[0,10^5]$​，有些时候我们需要利用这些值当作数组的下标来做，这是我们是不可能去开一个$10^9$​的数组的，因此，我们就要将这个序列里面的数映射到一个从0开始的连续自然数。

但是在离散化的时候我们应该注意哪一些问题呢？

（1）序列里面的元素有可能是$重复$​​​的，这就涉及到$去重$的操作。

（2）如何快速算出$x$​​(x表示序列里面的数值)离散化后新的数组的下标值。这里用$二分查询$来实现。

做离散化的具体步骤

这里的离散化一定是保须的

1：首先将这个序列里面的数进行从小到大排序。

2：接下来就是去重操作，c++里并没有直接去重的函数，但是我们是可以用函数来实现的，接下来阐述一下去重的原理，$unique$函数是返回排序后里面没有重复元素的最后一个值的下标返回，其实后面有就是重复的数，所以我们通过$erase$函数将后面重复的函数删掉。

$unique$函数的手动实现

c++里面是有专门的$unique$函数的，但是我们可不可以手动实现一个$unique$函数ne?当然也是可以的，接下来我就讲讲这个函数的具体实现算法。

(1)将不重复的数全部选出来，满足下面两个条件中的一个条件就行

1：这个数是序列中的第一个数

2：这个数与他前面一个数是不相等的，即$a[i]!=a[i-1]$

(2)实现我们通过双指针的方法

$i$指针表示遍历这个序列里面所有的数，$j$​指针表示当前存到的第几个不同的数

(3)注意，这里我们返回的是一个迭代器

vector<int>::iterator unique(vector<int>& a) {
	int j = 0;//j表示当前存下的第几个不同的数
	for (int i = 0; i < a.size(); i++)
		if (!i || a[i] != a[i - 1])
			a[j++] = a[i];
	return a.begin() + j;
}

3：如何快速算出$x$离散化后的值呢？具体实现看代码

sort(alls.begin(), alls.end());
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
int find(int x) {//需要查询的值x
	int l = 0, r = alls.size()-1;
	while (l < r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (alls[mid] >= x)r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return r + 1;//返回什么具体情况而定，如果你要求前缀和的话，那么你就要加1，因为前缀和处理的时候我们都是从下标1开始的
}

数轴上面有一些数，然后将他们离散化之后存在数组里面就是$a[1]=5,a[2]=3,a[3]=6,a[4]=1,\dots \dots ，a[8]=7$​

$离散化的核心就是将需要离散化的值映射到从0开始或者从1开始的连续自然数$

练习题：

题意：

假定有一个无限长的数轴，初始时数轴的下标权威0，现在，首先进行n次操作，将位置为x的地方加上c，然后接下来有m次询问，每次询问包含两个整数l，r。我们要求的是$[l,r]$区间里面的和

输入格式：

第一行两个数n和m；

接下来n行每行两个数x，c；

最后m次询问每行两个数l，r;

数据范围：

$-10^9$<=$x$<=$-10^9$

1<=$n,m$<=$10^5$

$-10^9$​<=$l$<=$r$<=$-10^9$​

$-10000$<=$c$<=$10000$

#include
#include
#include
using namespace std;
/*
3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8
*/
const int N = 30010;
int a[N], s[N];//x离散化后的数组的下标所对应的c
typedef pair<int, int> PII;
vector<int> alls;//待离散化后的值
vector<PII> add, query;

int find(int x) {
	int l = 0, r = alls.size()-1;
	while (l < r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (alls[mid] >= x)r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return r + 1;
}

int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int x, c;
		cin >> x >> c;
		add.push_back({ x,c });
		alls.push_back(x);
	}

	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		query.push_back({ l,r });
		alls.push_back(l);
		alls.push_back(r);
	}

	sort(alls.begin(), alls.end());
	alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

	for (int i = 0; i < add.size(); i++) {
		int x = find(add[i].first);
		//cout << x << endl;
		a[x] += add[i].second;
	}
	/*for (int i = 0; i < alls.size(); i++)cout << a[i] << endl;
	cout << endl;*/

	for (int i = 1; i <= alls.size(); i++)s[i] = s[i - 1] + a[i];
	
	for (int i = 0; i < query.size(); i++) {
		int l = find(query[i].first);
		int r = find(query[i].second);
		cout << s[r] - s[l-1] << endl;
	}
	return 0;
}