代码随想录算法训练营第42天|01背包问题（二维数组）、01背包问题（滚动数组）、416. 分割等和子集

01背包问题 二维

文章讲解：代码随想录|01背包问题 二维
视频讲解：01背包问题 二维

思路

1.dp[i][j] 表示从下标[0~i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2. 可以由两个方向推出来dp[i][j]

• 不放物品i： 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j] = dp[i - 1][j]
• 放物品i：由dp[i-1][j-weight[i]]推出，即背包容量为j-weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3. 初始化，要和dp数组的定义吻合
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/8c3b1e7ad7844963a18fe96ccfdd0aa9.png
在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖
但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

4. 确定遍历顺序
   p[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
   dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向）
   先遍历 物品还是先遍历背包重量在二维数组中都是一样的
   
5. 举例推导：
   

代码

//二维dp数组实现
#include 
using namespace std;

int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {
    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    while(cin >> n >> bagweight) {
        solve();
    }
    return 0;
}

01背包问题（滚动数组）

文章讲解：代码随想录|01背包问题（滚动数组）
视频讲解：01背包问题（滚动数组）

思路

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

1. 在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2. p[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，所以递归公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
3. dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
   那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
   看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
   dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
   那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
4. 一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历, 本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。
   也一定要先遍历物品嵌套遍历背包容量，因为如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

5. 举例推导
   

代码

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

416. 分割等和子集

题目链接：416. 分割等和子集
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视频讲解：416. 分割等和子集

思路

也就是要找到和为sum/2的子集
转化为01背包问题，也就是背包的容量为sum/2，放入的商品重量为元素的数值，价值也为元素的数值，如果正好装满，也就找到了目标子集，即dp[target] == target
1.dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]
2.dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3.dp[0]一定是0；为了让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了，所以其他值的初始值不能为50 100，而是要0.
4.物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历
5.举例推导

相当于是对于每一个物品(数字)i，更新数组dp[j]中下标大于nums[i]的元素(判断放入还是不放入哪个更大)

代码

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};

704. 二分查找

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