代码随想录算法训练营第四十二天|01背包问题、01背包问题——滚动数组、416. 分割等和子集

01背包问题

文档讲解 : 代码随想录 - 01背包问题
状态:再次回顾。

01背包

n件物品和一个最多能背重量为w的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
代码随想录算法训练营第四十二天|01背包问题、01背包问题——滚动数组、416. 分割等和子集_第1张图片
动态规划五部曲:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    dp[i]的定义为:从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。

  2. 确定递推公式
    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

  3. dp数组如何初始化

    // 初始化 dp
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
    }
    
  4. 确定遍历顺序
    先遍历背包,再遍历物品。(二维dp数组两者换顺序也可以)

  5. 举例推导dp数组:
    对应的dp数组的数值,如图:
    代码随想录算法训练营第四十二天|01背包问题、01背包问题——滚动数组、416. 分割等和子集_第2张图片

代码:

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

01背包问题——滚动数组

文档讲解 : 代码随想录 - 01背包问题——滚动数组
状态:再次回顾。

动态规划五部曲:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    dp[i]的定义为:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]

  2. 确定递推公式
    dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

  3. dp数组如何初始化
    假设物品价值都是大于0的,所以dp数组初始化的时候,都初始为0

  4. 确定遍历顺序
    先遍历物品,再遍历背包。(不可以换顺序!)

    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    	for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        	dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    	}
    }
    
  5. 举例推导dp数组:
    一维dp,分别用物品0,物品1,物品2 来遍历背包,最终得到结果如下:
    代码随想录算法训练营第四十二天|01背包问题、01背包问题——滚动数组、416. 分割等和子集_第3张图片

代码:

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

416. 分割等和子集

文档讲解 : 代码随想录 - 416. 分割等和子集
状态:再次回顾。

思路

套用01背包:

  • 背包的体积为sum / 2
  • 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
  • 背包如果正好装满,说明找到了总和为sum / 2 的子集。
  • 背包中每一个元素是不可重复放入。

动态规划五部曲:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    dp[i]的定义为:容量为j的背包,所背的物品价值最大可以为dp[j]

  2. 确定递推公式
    dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

  3. dp数组如何初始化
    假设物品价值都是大于0的,所以dp数组初始化的时候,都初始为0

  4. 确定遍历顺序
    先遍历物品,再遍历背包。(不可以换顺序!)

    // 开始 01背包
    	for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    	    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历
    	        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    	    }
    	}
    
  5. 举例推导dp数组:
    用例1,输入[1,5,11,5] 为例,如图:
    代码随想录算法训练营第四十二天|01背包问题、01背包问题——滚动数组、416. 分割等和子集_第4张图片
    最后dp[11] == 11,说明可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

本题代码:

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};
  • 时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
  • 空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n),虽然dp数组大小为一个常数,但是大常数

你可能感兴趣的:(算法,代码随想录,算法)