表内除法（1）——贞元教育

在低段课程中，每一种运算都会还原成动作游戏，在动手操作的过程中儿童理解着运算的本质含义。这个单元我们将学习一种新的运算——除法，儿童同样要在动作游戏中去发明创造。于我而言，与以往不同的而是，这次的小贝壳们的创造历程真是惊喜连连。

一：包含除先于平均分

我们首先尝试的是对24颗棋子的平均分游戏。这完全是一个动手操作的过程，儿童很快就会探索出多种平均分的方法！

我们就先从最简单的情况——平均分成2份聊起吧！

对于这种分堆情况，你能不能用算式来表示呢？小贝壳们很快就想到了加，减，乘法来表示。

但加法（合并）减法（拆分）乘法（倍数）好像都不是在解释平均分这个动作，看来我们得发明一种新的运算了！讨论区里，孩子们早已经喊出了除法！那就试着用一个除法算式来表示我们刚才的平均分过程吧！

栋的回答出乎我的意料！他列的算式是24÷12=2！在课程的原本设计中，关于除法的包含除含义会在后面介绍，首先会带着儿童理解除法的平均分含义。但这小子，一上来就先发明了一个具有包含除意义的除法算式。那么他真的懂这个算式的含义吗？怀着一种看热闹的心理，我请栋来解释算式24÷12=2 的含义是什么。

没想到小家伙很流畅地就解释道：一共有24颗棋子，如果每份有12颗棋子，我可以将棋子平均分成2份。我顿时傻了眼，同时也注意到了自己的对除法的固有偏见到底有多么深！在我的心目中除法的平均分含义永远是第一位的，包含除含义是第二位的。从平均分的过程来说，先确定份数，或者先确定每份的个数都是可以将一堆棋子进行平均分。为什么一定要先确定份数呢？对于数感好的孩子，可能更早关注到的是平均分过程中每份的个数是多少，然后再尝试可以分成几份。孩子们带着我对于平均分的操作活动的理解又更进了一步。

当然，对话不能停留至此，如果写出这样一个除法算式呢？24÷2=12，能解释除法算式的含义吗？

我们通过分析算式中每个数字的含义，24——棋子总数；2——平均分成2份，这个算式就应该是在求将24颗棋子平均分成2份，每份有12颗棋子。

于是对于每一种平均分情况，我们可以用加法，减法乘法算式表示，还可以用两个除法算式来表示。

当孩子们从不同的角度（包含除和平均分）来分析平均分过程的时候，除法算式中的每个量的含义——总数，份数，每份的个数之间的关系已经在慢慢地被他们讨论着，感受着。而且从一开始他们就知道除数既可以是平均分的份数，还可以是每份的个数。

二：平均分成1份？

在24颗棋子的平均分游戏中，有的孩子出现了这样的记录——

对应的除法算式24÷1=24，能不能解释成24颗棋子平均分成1份，每份有24颗棋子？很多小贝壳的回答是感觉可以又不可以。按照平均分的话语逻辑好像能说得清楚，但是在现实生活中我们却从来没有过将一堆物体，平均分成1份的说法，那不就是没分嘛！没有分，又怎么能叫做平均分呢！

好吧，我们不能用平均分的方式去解释，难道24÷1=24这个算式就没有意义了吗？

我们可以用包含除的解释：24里面包含有1个24。这样不仅在话语逻辑上是相同的，而且在实际意义上也是可行的。

讨论到这里，孩子们帮助我对于除法的认识又更近了一步。除法的解释力比我想象中的要强大很多，对于现实生活中不可以用平均分解释但是含有包含意义的数量关系就可以用除法模型进行处理。比如1÷0.8，我们不会说把1个蛋糕，平均分成0.8份，但我们却可以说1里面有几个0.8。随着数系的扩充，可能除法的包含除含义比平均分含义在之后的学习中更有解释力！

三  成对出现的平均分情况

在棋子的平均分游戏中，有个小贝壳的作品反馈总是这样的——每种拆分情况总是成对出现

有个小家伙还偷了个“懒”，想用一组除法算式来表示两种平均分情况：48÷2=24与48÷24=2这组除法算式既可以解释将48颗棋子平均分成24份，每份有2颗棋子，又可以解释将48颗棋子平均分成2份，每份有24颗棋子。

而且我们随便拿出一个孩子的作品，都可以发现类似的情况存在，这真是一个有趣的现象。但这是为什么呢？孩子们却“如鲠在喉”，说不清楚。不急，那就到具体情景中去看看吧！

同样都是算式36÷4=9，当在情景：将36颗棋子平均分成9份，每份有4颗棋子的情景中，就表示包含除的含义；当在情景：将36颗棋子平均分成4份，每份有9颗棋子的情景中时，它就表示平均分的含义。原来这两种拆分情况仅仅是除法两种不同含义的表达啊！而每一种除法算式都对应着两种含义，也就对应着两种不同的平均分情况啊！很快，在之后的更数字的平均分游戏中，这种思想就成了孩子们的思维工具。

这又是怎样的一份惊喜呢？在准备课程的时候，我最担心的一个问题就是浪漫阶段大量的平均分动作游戏，如何才能让孩子们有节凑，不乏味，兴趣盎然地参与其中？在开始执行课程的时候，其实还是没有一个准确的答案。这段课程的穿越让我知道，答案就在儿童的动手操作之中，其中的发现与奥秘，会随着他们观念的不断强大，越来越多。除法游戏也会越来越好玩。

之后我们还会玩更大数字（100）的平均分游戏。对了！为什么不能试试包含除的动作操作呢？哇！这肯定又是一种全新的游戏体验，想到这里，我还真有点等不急要上后面的课程了。