【通信系统仿真系列】基于Matlab的汉明码(Hamming Code)纠错传输以及交织编码(Interleaved coding)仿真

前言

在上一篇文章《8位16位64位等任意数量用户CDMA直接序列扩频通信系统的Matlab仿真》中，介绍了一种多用户CDMA传输模型，但该模型存在一个缺陷，那就是无论信噪比多高，误码率始终无法为0，为了引入纠错码从而解决这个缺陷，在空闲时间研究了汉明码与交织编码技术，做出了Matlab模型，整理成文章给大家参考。

原理

信道

生成单极性码

交织编码

汉明码编码

发送

接收

汉明码解码

交织解码

结果

汉明码

代码中编码与解码均采用奇校验。

编码过程

冗余位数量计算

$$\forall x\subset Z^{+}且满足2^x\ge x+m+1，i=min(x)$$
其中，m为每一帧数据的二进制位数，i为冗余位数量。

校验位位置计算

校验位位置都出现在2的幂次方位，所以根据冗余位数量计算即可。如果冗余位数量为4，则校验位位置就是[1,2,4,8]，注意，以上位置对应数组索引从一开始，即1表示第一位。

计算校验相关位

汉明码就是奇偶校验的升级版，它在编码结果中加入冗余位数量个奇偶校验位。每一个校验位都有不同的校验相关位，第一位校验位，它就跟索引在二进制下第一位是1的所有数据位有关。
假设传输的数据7位一帧，那么它的冗余位数量就是4，第一个冗余位出现在编码后的第一位，这一位要与[3 5 7 9 11]这些位做奇偶校验。
第2位校验位则跟索引在二进制第2位是1的所有数据进行奇偶校验；
。。。
第k位校验位则跟索引在二进制第k位是1的所有数据进行奇偶校验。
代码中用了按位与的方法，把每一个校验位对应的多个相关位找出来。

开始编码

对于每一帧数据，首先把用户的数据填入到编码结果的非校验位，然后对每个校验位及其校验相关位做奇校验，把校验结果填入校验位，即完成一帧的编码。
例如传输的数据7位一帧，那么它的冗余位数量就是4，冗余位序号，索引以及校验相关位如下图所示：

冗余位序号	冗余位位置索引	校验相关位索引
1	1	1 3 5 7 9 11
2	2	2 3 6 7 10 11
3	4	4 5 6 7
4	8	8 9 10 11
注意，以上索引指编码后的索引，且从1开始。
比如说用户需要发送：1011001，那么初步编码结果即为100?110?1??，?号表示冗余校验位。
把下表中的初步编码与第一冗余相关位进行逻辑与，带?号的位忽略，第一逻辑与结果中有4个1，所以冗余位应该填入1，使其满足奇校验，接着把第二冗余相关位与初步编码进行逻辑与，重复上述步骤，以此类推，即可得到每个冗余位的值。
位序号	11	10
--------	-----	--------
初步编码	1	0
第一冗余相关位	1	0
第一逻辑与结果	1	0
第一冗余结果	0	0

位序号	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
第二初步编码	1	0	1	?	1	0	0	?	1	?	1
第二冗余相关位	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
第二逻辑与结果	1	0	0	?	1	0	0	?	1	?	0
第二冗余结果	0	0	0	0	0	0	0	0	0	?=0	0

位序号	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
第三初步编码	1	0	1	?	1	0	0	?	1	0	1
第三冗余相关位	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0
第三逻辑与结果	0	0	0	?	1	0	0	?	0	0	0
第三冗余结果	0	0	0	0	0	0	0	?=0	0	0	0

位序号	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
第四初步编码	1	0	1	?	1	0	0	0	1	0	1
第四冗余相关位	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0
第四逻辑与结果	1	0	1	?	0	0	0	0	0	0	0
第四冗余结果	0	0	0	?=1	0	0	0	0	0	0	0

位序号	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
编码结果	1	0	1	1	1	0	0	0	1	0	1

解码过程

解码同样要计算校验位位置与校验相关位，然后对每一个校验位及其校验相关位进行奇校验，校验正确输出0，校验失败输出1。仍是上面的例子，假设接收端接收时出错，上面的编码结果：10111000101的第6位变成了1，即接收到了：10111100101，接收端的解码过程如下：
把接受结果依次与四种冗余相关位进行逻辑与，然后分别统计结果中”1“的个数是否为奇数个，是则输出0，否则输出1。

位序号	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
接收结果	1	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1
第一冗余相关位	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
第一逻辑与结果	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1
第一逻辑与结果有5个”1“，输出0，奇校验通过。
位序号	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
--------	-----	--------	-----	--------	-----	--------	-----	--------	-----	—	—
接收结果	1	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1
第二冗余相关位	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
第二逻辑与结果	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0	0
第二逻辑与结果有4个”1“，奇校验失败，输出1
位序号	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
--------	-----	--------	-----	--------	-----	--------	-----	--------	-----	—	—
接收结果	1	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1
第三冗余相关位	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0
第三逻辑与结果	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0
第三逻辑与结果有2个”1“，奇校验失败，输出1
位序号	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
--------	-----	--------	-----	--------	-----	--------	-----	--------	-----	—	—
接收结果	1	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1
第四冗余相关位	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0
第四逻辑与结果	1	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0
第四逻辑与结果有3个”1“，输出0，奇校验通过。
把以上的输出从第四到第一进行排列，可得0110，这是6的二进制，标志着第6位传输出错！因为传输的是二进制，只要对第六位取反，就可以得到发送的码元。
以上就是汉明码纠错原理，它可以纠正一帧中的一维错码，对于多位错码的情况，可以使用更复杂的BCH编码，此处不再介绍。

实验结果

实验参数：

1. 汉明编码一帧对应8个用户码元
2. 交织编码一帧对应16个用户码元
3. 用户码元数设置为1e5 * 8个
4. 信道误码率范围：10^(-4) 到10^(-0.3)
   
   实验结果显示，在信道误码率小于0.128时，使用纠错编码传输对于通信质量有显著改善，甚至在信道误码率小于4e-4时，可以0误码传输，在信道误码率大于0.128时，使用纠错码无实际意义。

仿真代码

可以修改的参数

1. 汉明编码一帧的码元数
2. 交织编码一帧的码元数
3. 测试的码元数量
4. 误码率开始数
5. 误码率结束数
6. 误码率尝试数

下载链接

GitHub: https://github.com/highskyno1/hamming_en-decode
度盘：https://pan.baidu.com/s/13YSblZQoAWjCibgU7Mtmmw
提取码：jrgi

主函数

main.m

%{
    本代码实现了对用户二进制码元的纠错编码与解码。
    核心功能采用的汉明码的方法。
    2020/8/4 23:10
    加入了交织编码技术,一定程度上避免了突发连续错误带来的误码
    2020/8/5 11:19
%}
%汉明编码一帧的码元数,对数据冗余度有影响
hamming_frame_size = 8;
%交织编码一帧的码元数,越大对于抵抗突发连续错误越好,但会增加处理时延
mixed_frame_size = 16;
%测试的码元数量,必须是frame_size以及mixed_frame_size的整数倍
code_num = 1e5 * 8;

%生成用户码元
user_code = genBipolar(code_num);
%交织编码
mix_code = mixed_encode(user_code,mixed_frame_size);
%发送出去的编码后的码元
send_code = hamming_encode(mix_code,hamming_frame_size);
fprintf('冗余度：%f\n',length(send_code)/length(user_code));
%误码率开始数
error_start = -4; % -4指10^-4
%误码率结束数
error_end = -0.3; % -0.3指10^(-0.3)
%误码率尝试数
error_size = 100;
%记录信道误码率的数组
channel_error_rec = zeros(1,error_size);
%记录实际误码率的数组
error_rec = zeros(1,error_size);
parfor error_index = 1:error_size
    %当前信道误码率
    error_rate = 10^(error_start + (error_index-1) / error_size * (error_end - error_start));
    channel_error_rec(error_index) = error_rate;
    %随机误码
    rec_code = randErrorCode(send_code,error_rate);
    %解码后的码元
    de_code = hamming_decode(rec_code,hamming_frame_size);
    %交织解码
    res_code = mixed_decode(de_code,mixed_frame_size);
    %计算实际误码率
    [~,accuracy] = compare(user_code,res_code);
    error_rec(error_index) = 1 - accuracy;
    fprintf('信道误码率：%f,实际误码率：%f\n',error_rate,1-accuracy);
end
%绘制实际误码率与信道误码率关系图
figure();
loglog(channel_error_rec,error_rec);
hold on;
loglog(channel_error_rec,channel_error_rec);
xlabel('信道误码率');
ylabel('实际误码率');
legend('使用纠错码传输','直接传输');

汉明码编解码测试模块

hamming_test.m

user_code = [1 0 0 1 1 0 1];
en_code = encode(user_code,7);
%误码位
en_code(11) = ~en_code(11);
de_code = decode(en_code,7);
%计算正确率
[~,accuracy] = compare(user_code,de_code);
fprintf('误码率：%f\n',1-accuracy);

汉明码编码器

hamming_encode.m

function res = hamming_encode(input,frame_size)
%encode 对输入的二进制数组进行汉明码编码,奇校验
%input:需要编码的二进制数组
%frame_size:每一帧数据的二进制位数
len_input = length(input);
if mod(len_input,frame_size) ~= 0
    error('输入的数组数必须是分组数的整数倍')
end
%计算冗余位数量
red_bit_num = red_bit_cal(frame_size);
%总的位数
bit_num = red_bit_num + frame_size;
%帧数量
frame_num = len_input / frame_size;
%计算校验位的位置
pos_red_bit = 2.^(0:red_bit_num-1);
%计算校验位的相关位
pos_relat_bit = uint8(zeros(red_bit_num,bit_num));
for i = 1:red_bit_num
    for j = 1:bit_num
        if bitand(2^(i-1),j) ~= 0
            pos_relat_bit(i,j) = 1;
        end
    end
end
%初始化一个结果单元
res = uint8(zeros(frame_num,bit_num));
%填满每一帧的数据位
index = 1;
for i = 1:frame_num
    for j = 1:bit_num
        if ismember(j,pos_red_bit)
            continue
        end
        res(i,j) = input(index);
        index = index + 1;
    end
end
%对每一帧加入校验位
for i = 1:frame_num
    for j = 1:red_bit_num
        foo = bitand(res(i,:),pos_relat_bit(j,:));
        foo = mod(sum(foo)+1,2);
        res(i,pos_red_bit(j)) = foo;
    end
end
res = res';
res = res(:);
end

汉明码解码器

hamming_decode.m

function res = hamming_decode(input,frame_size)
%decode 对输入的二进制数组进行汉明码解码,奇校验
%input:需要编码的二进制数组
%frame_size:每一帧数据的二进制位数
len_input = length(input);
%计算冗余位数量
red_bit_num = red_bit_cal(frame_size);
%总的位数
bit_num = red_bit_num + frame_size;
if mod(len_input,bit_num) ~= 0
    error('输入的数组数必须是总的位数的整数倍');
end
%帧数量
frame_num = len_input / bit_num;
%对输入进行重构
input = uint8(input);
input = reshape(input,bit_num,frame_num);
input = input';
%计算校验位的位置
pos_red_bit = 2.^(0:red_bit_num-1);
%计算校验位的相关位
pos_relat_bit = uint8(zeros(red_bit_num,bit_num));
for i = 1:red_bit_num
    for j = 1:bit_num
        if bitand(2^(i-1),j) ~= 0
            pos_relat_bit(i,j) = 1;
        end
    end
end
%开始校验,注意是奇校验
for i = 1:frame_num
    %该帧的校验结果
    res_verify = uint8(zeros(1,red_bit_num));
    for j = 1:red_bit_num
        foo = sum(bitand(input(i,:),pos_relat_bit(j,:)));
        if mod(foo,2) == 0
            %奇校验失败
            res_verify(j) = 1;
        end
    end
    %计算出错位
    %转换为小端序
    res_verify = fliplr(res_verify);
    error_bit_pos = 0;
    for j = 1:red_bit_num
        error_bit_pos = error_bit_pos*2 + res_verify(j);
    end
    %出错位取反
    if error_bit_pos <= bit_num && error_bit_pos ~=0
        %如果为0，则没有发生传输错误
        input(i,error_bit_pos) = ~input(i,error_bit_pos);
    end
end
%提取结果
res = uint8(zeros(1,frame_num*frame_size));
res_index = 1;
for i = 1:frame_num
    for j = 1:bit_num
        if ismember(j,pos_red_bit)
            continue
        end
        res(res_index) = input(i,j);
        res_index = res_index + 1;
    end
end
end

冗余位计算模块

red_bit_cal.m

function res = red_bit_cal(group_num)
%red_bit_cal 计算冗余位数量
%group_num:每一帧数据的二进制位数
res = 0;
while 2^res - res < group_num + 1
    res = res + 1;
end
end

交织编码器

mixed_encode.m

function res = mixed_encode(input,frame_size)
%mined_encode 本函数用于对输入信号进行交织编码
%input：用户数据
%frame_size：一帧数据所包含的二进制码元数
len_input = length(input);
if mod(len_input,frame_size) ~= 0
    error('用户数据二进制数必须为帧数的整数倍');
end
frame_num = len_input / frame_size;
res = reshape(input,frame_num,frame_size);
res = res';
res = res(:);
end

交织解码器

mixed_decode.m

function res = mixed_decode(input,frame_size)
%mined_encode 本函数用于对输入信号进行交织解码
%input：用户数据
%frame_size：一帧数据所包含的二进制码元数
len_input = length(input);
if mod(len_input,frame_size) ~= 0
    error('用户数据二进制数必须为帧数的整数倍');
end
frame_num = len_input / frame_size;
res = reshape(input,frame_size,frame_num);
res = res';
res = res(:);
end

随机误码模块

randErrorCode.m

function res = randErrorCode(input,error_rate)
%randErrorCode 对输入的码元数组添加随机误码
%input:数组
%error_rate:误码率(%)
res = input;
for i = 1:length(input)
    if rand() < error_rate
        res(i) = ~res(i);
    end
end
end

比较模块

compare.m

%比较两个数组
%input1:数组1
%input2:数组2
%res:正确码元数量
%accuracy:正确率
function [res,accuracy] = compare(input1,input2)
    len1 = length(input1);
    len2 = length(input2);
    len = min(len1,len2);
    right_code = 0;
    for i = 1:len
        if input1(i) == input2(i)
            right_code = right_code + 1;
        end
    end
    res = right_code;
    accuracy = right_code / len;
end

单极性码生成模块

genBipolar.m

%产生单极性码
%num:单极性码的规模
%res:满载单极性码的数组
function res = genBipolar(num)
    res = rand(1,num);
    res = value2Bipolar(res);
end

随机码转单极性码模块

value2Bipolar.m

% 本函数用户把随机生成的0~1之间的double数转换成双极性码
function res = value2Bipolar(input)
    res = zeros(1,length(input));
    for index = 1:length(input)
        if(input(index) > 0.5)
            res(index) = 1;
        end
    end
    res = uint8(res);
end

后语

终于把纠错码模型做出来了，接下来可以去修改任意用户CDMA传输模型了。前几天趁着有空，去了张家界旅游，自由行，一共5天。那边空气非常清新，但是景区的设计非常坑爹，经常都是至少坐一次缆车或者天梯，才能在景区下班前离开景区，但风景是真的不错。昨天收到通知，初步确定9月24号才能回到学校，这个暑假又延长了！