级数知识点小结2-幂级数

（虽然应该让函数项级数与常数项级数同一级别，但由于函数项级数主要提及的是幂级数和傅里叶级数，便直接将其提上来重点说明。只需要心里明白：幂级数与傅里叶级数属于函数项级数，而与函数项级数相对应的概念是常数项级数。）

函数项级数的概念：如果给定一个定义在区间上的函数列

那么由这函数列构成的表达式

称为定义在区间上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

PS：此外还有收敛点，收敛域，发散点，发散域，和函数，余项等概念请自行查阅。

3. 幂级数

3.1 幂级数及其收敛性

概念：各项都是常数乘幂函数的函数项级数，其形式为

其中常数叫做幂级数的系数。

幂级数的一般形式为，作代换即可化为上面的简要形式。

阿贝尔（Abel）定理：如果级数当时收敛，那么适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数当时发散，那么适合不等式的一切使这幂级数发散。

推论：如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数存在，使当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数可能收敛也可能发散。

幂级数收敛半径的求法：如果，其中是幂级数的相邻两项的系数，那么这幂级数的收敛半径

实际上是根据比值审敛法推论出的，因此当幂级数缺项时，可以根据比值审敛法求收敛半径。

3.2 幂级数的运算

除了最基础的四则运算以外，还有一些积分、求导等运算（主要用来求和函数）。

幂级数的和函数的重要性质：

1. 幂级数的和函数在其收敛域上连续。
2. 幂级数的和函数在其收敛域上可积，并有逐项积分公式
   逐项积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
3. 幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导公式
   逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

3.3 函数展开成幂级数

函数展开成幂级数:如果一个幂级数在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数，那么我们就说函数在该区间内能展开成幂级数。

函数展开成泰勒级数的充要条件：设函数在点的某一领域内具有各阶导数，则f(x)在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该领域内的泰勒公式中的余项时的极限为零，即

把函数展开成幂级数（麦克劳林展开式）的一般步骤：

1. 求出的各阶导数
2. 求出函数及其各阶导数在处的值
3. 写出幂级数并求出收敛半径
4. 考察余项的极限是否为零

需要记住一些常见的函数的泰勒展开式，如:

以及、、、、等。

3.4 函数的幂级数展开式的应用

其应用包括近似计算、求解微分方程等。在此仅记录一点关于近似计算的内容。

近似计算主要包括计算某无理数（如）、定积分（如）的近似值。要注意的主要是舍入误差、截断误差的取值。