平面最近点对（加强版）

平面最近点对（加强版）

题目描述

给定平面上 $n$ 个点，找出其中的一对点的距离，使得在这 $n$ 个点的所有点对中，该距离为所有点对中最小的

输入格式

第一行：$n$ ，保证 $2\le n\le 200000$ 。

接下来 $n$ 行：每行两个实数：$xy$ ，表示一个点的行坐标和列坐标，中间用一个空格隔开。

输出格式

仅一行，一个实数，表示最短距离，精确到小数点后面 $4$ 位。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 1
1 2
2 2

样例输出 #1

1.0000

提示

数据保证 $0\le x,y\le 10^9$

思路

不同于 平面最近点对（加强加强版），之前使用了分治，过于繁琐，而对于这个题来说，可能有更加方便的做法

我们充分发扬人类智慧：
将所有点全部绕原点旋转同一个角度，然后按 $x$ 坐标排序
根据数学直觉，在随机旋转后，答案中的两个点在数组中肯定不会离得太远
所以我们只取每个点向后的 $5$ 个点来计算答案
这样速度快得飞起，在 $n=1000000$ 时都可以在 $1s$ 内卡过

实现上述做法，需要点旋转公式：
$$x^{\prime }=(x-x_0)\ast cos(\theta )+(y-y_0)\ast sin(\theta )+x_0$$

$$y^{\prime }=-(x-x_0)\ast sin(\theta )+(y-y_0)\ast cos(\theta )+x_0$$
若绕原点，则可以代入求解

代码

#include 
#define int double
#define hp(x,y,a,b) (x-a)*(x-a)+(y-b)*(y-b)
using namespace std;
const long M=1e7;
int a[M],b[M];
struct node{
	int x,y;long id;
}p[M];
void calc(int x,int y,int b,long i){
	int tx,ty;
	tx=x*cos(b)-y*sin(b);
	ty=x*sin(b)+y*cos(b);
	p[i]=(node){tx,ty,i};
}
int dist=1e19;
int read(){int x;cin>>x;return x;}
long n;
signed main(){
	cin>>n;
	for(long i=1;i<=n;i++)
		calc(a[i]=read(),b[i]=read(),56,i);
	
	sort(p+1,p+1+n,[](node x,node y){return x.x<y.x;});
	for(long i=1;i<=n;i++)
		for(long j=i+1;j<=min(n,i+2);j++)
			dist=min(hp(a[p[i].id],b[p[i].id],a[p[j].id],b[p[j].id]),dist);
	printf("%.4lf",sqrt(dist));
	return 0;
}