排队布局（差分约束）

题目描述

当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。
农夫约翰有 N 头奶牛，编号从 1 到 N，沿一条直线站着等候喂食。
奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。
因为奶牛相当苗条，所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上。
如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。
一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离不超过一个给定的数 L.
另一方面，一些奶牛相互间非常反感，它们希望两者间的距离不小于一个给定的数 D。
给出 ML 条关于两头奶牛间有好感的描述，再给出 MD 条关于两头奶牛间存有反感的描述。
你的工作是：如果不存在满足要求的方案，输出-1；如果 1 号奶牛和 N 号奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，计算出在满足所有要求的情况下，1 号奶牛和 N 号奶牛间可能的最大距离。

输入格式

第一行包含三个整数 N,ML,MD。
接下来 ML 行，每行包含三个正整数 A,B,L，表示奶牛 A 和奶牛 B 至多相隔 L 的距离。
再接下来 MD 行，每行包含三个正整数 A,B,D，表示奶牛 A 和奶牛 B 至少相隔 D 的距离。

输出格式

输出一个整数，如果不存在满足要求的方案，输出-1；如果 1 号奶牛和 N 号奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，输出在满足所有要求的情况下，1 号奶牛和 N 号奶牛间可能的最大距离。

数据范围

2≤N≤1000,
1≤ML,MD≤104,
1≤L,D≤106

输入样例
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3
输出样例
27

题目分析

对于差分约束的题目，我们第一步还是找出题目中的不等式关系。
x[i]表示第i头牛的位置
不等式关系：
1.x[i+1]>=x[i] //这n头牛是按编号顺序站的，且同一位置上可以站多头牛
2.奶牛a和b之间至多相隔距离L => x[b]-x[a]<=L -> x[b]<=x[a]+L
3.奶牛a和b之间至少相隔距离D => x[b]-x[a]>=D -> x[b]-D>=x[a]

然后就可以根据找出的不等式关系进行建图了。首先是将不等式关系对应成边：边(u,v,w) 表示u+w>=v。

题目要求的是最大值，因此我们要求图的最短路。
然后我们再来考虑第一问：是否存在合法方案？对于这个问题，我们只需要跑一边spfa，找一下是否存在负环即可，如果存在负环，则说明题目无解（注：求负环时，我们需要一个虚拟源点，与其它所有的点相连）。

第二问是：求1号牛和n号牛的最小距离是多少？即求x[n]-x[1]。因此我们可以设x[1]=0，用spfa求出1号点和其它点的最短路，这样求出的dist[n]即为答案。如果dist[n]>=INF，则说明1到n之间不存在约束关系，距离可以无限远，输出-2。

代码如下

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair
#define x first
#define y second
using namespace std;
int n;
const int N=1e3+5,M=3e4+5,INF=0x3f3f3f3f;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
int dist[N],cnt[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b;
    w[idx]=c;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
bool spfa(int size)			//我们可以假设一个超级源点v0，size表示v0与多少点相连
{	//size=n时，v0与所有点相连，可以用来判断负环；size=1时，v0只与1相连，相当于起点只有1号点，可以求1号点与其它点的最短路
    memset(st,0,sizeof st);
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=size;i++)
    {
        dist[i]=0;
        q.push(i);
        st[i]=true;
    }
    while(q.size())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        st[u]=false;
        for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
        {
            int v=e[i];
            if(dist[v]>dist[u]+w[i])
            {
                dist[v]=dist[u]+w[i];
                cnt[v]=cnt[u]+1;
                if(cnt[v]>=n) return false;
                if(!st[v])
                {
                    q.push(v);
                    st[v]=true;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    int m1,m2;
    scanf("%d %d %d",&n,&m1,&m2);
    for(int i=1;i<n;i++) add(i+1,i,0);		//将1号关系的条件转化为边
    while(m1--)								//将2号关系的条件转化为边
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
        if(u>v) swap(u,v);		//上面的条件中，是保证a
        add(u,v,w);
    }
    while(m2--)								//将3号关系的条件转化为边
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
        if(u>v) swap(u,v);		//同上
        add(v,u,-w);
    }
    if(spfa(n))								//判断是否存在负环
    {
        spfa(1);							//求出1号点到其它点的最短路
        if(dist[n]>=INF) puts("-2");
        else printf("%d\n",dist[n]);
    }
    else puts("-1");
    return 0;
}