Acwing 1170. 布局 （差分约束）
Acwing 1170. 布局
题意
当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。
农夫约翰有 N N N 头奶牛，编号从 1 1 1 到 N N N，沿一条直线站着等候喂食。
奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。
因为奶牛相当苗条，所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上。
如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。
一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离不超过一个给定的数 L L L。
另一方面，一些奶牛相互间非常反感，它们希望两者间的距离不小于一个给定的数 D D D。
给出 M L M_L ML 条关于两头奶牛间有好感的描述，再给出 M D M_D MD 条关于两头奶牛间存有反感的描述。
你的工作是：如果不存在满足要求的方案，输出 − 1 -1 −1；如果 1 1 1 号奶牛和 N N N 号奶牛间的距离可以任意大，输出 − 2 -2 −2；否则，计算出在满足所有要求的情况下， 1 1 1 号奶牛和 N N N 号奶牛间可能的最大距离。
思路
设一组变量 x i x_i xi表示 第 i i i 只奶牛所在的位置，因为题目要求奶牛按照编号的顺序站，所以会有以下不等式约束条件：
① x i ≤ x i + 1 x_i \leq x_{i + 1} xi≤xi+1
同时，根据 M L M_L ML 和 M D M_D MD 的约束，会有以下不等式约束条件
② x b − x a ≤ L x_b - x_a \leq L xb−xa≤L 其中 x a ≤ x b x_a \leq x_b xa≤xb
③ x b − x a ≥ D x_b - x_a \geq D xb−xa≥D 其中 x a ≤ x b x_a \leq x_b xa≤xb
因为奶牛之间只有相对关系，没有绝对关系，也即某一个奶牛在数轴上的具体位置不重要，只需要满足不等式的约束条件即可。因为题目要求最大距离，所以应该用差分约束的最短路模型。
因为题目不需要求出每个奶牛具体的位置，所以无需添加绝对关系不等式。
首先考虑问题1，不满足要求即图中存在负环。
问题2、3：1 号奶牛和 N 号奶牛之间的距离可以任意大等价于，从 1 到 N 的最短路可以无限大，所以从1 求一遍最短路判断 d[n] 是否等于 INF 即可，如果 == INF 说明距离可以任意大，否则d[n]即为求出最大的距离。
考虑这样一个问题：为什么判断是否满足条件时需要将所有点 push 进队列，而求最大距离时，只需要将 节点 1 push 进队列？
-
是否满足条件 == 图中是否存在负环 如果只把 1 push 进队列，1 可能到达不了所有的点，所以要把所有点 push进去
-
1 到 N 的最大距离，经典的最短路问题，所以只需要把起点 push 进队列，无需考虑是否能到达所有的点。
代码
// Author：zzqwtcc
// Problem: 排队布局
// Contest: AcWing
// Time：2021-10-29 19:16:45
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1172/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
#include T qmi(T a, T b = mod - 2, T p = mod) { T res = 1; b %= (p - 1 == 0 ? p : p - 1); while (b) { if (b & 1) { res = (LL)res * a % p; }b >>= 1; a = (LL)a * a % p; }return res % mod; }
const int N = 1010,M = 2e4 + N + 10;
int n;
int m1,m2;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int cnt[N],d[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c){
e[idx] = b,w[idx] = c,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}
bool spfa(int size){
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(cnt,0,sizeof cnt);
memset(st,0,sizeof st);
queue<int>q;
for(int i = 1; i <= size;++i){
q.push(i);
d[i] = 0;
}
while(q.size()){
int u = q.front();
q.pop();
st[u] = false;
for(int i = h[u];~i;i = ne[i]){
int j = e[i];
int dis = w[i];
if(d[j] > d[u] + dis){
d[j] = d[u] + dis;
cnt[j] = cnt[u] + 1;
if(cnt[j] >= n)return false;
if(!st[j]){
st[j] = true;
q.push(j);
}
}
}
}
return true;
}
void solve() {
cin >> n >> m1 >> m2;
memset(h,-1,sizeof h);
while(m1--){
int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(a > b)swap(a,b);
add(a,b,c);
}
while(m2--){
int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(a > b)swap(a,b);
add(b,a,-c);
}
for(int i = 1; i <= n - 1;++i){
add(i + 1,i,0);
}
if(!spfa(n))puts("-1");
else {
spfa(1);
if(d[n] == INF)puts("-2");
else printf("%d\n",d[n]);
}
}
signed main() {
//int _; cin >> _;
//while (_--)
solve();
return 0;
}