计算机组成原理|第六章(笔记)

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上篇：第五章、输入输出系统
下篇：第七章、指令系统

第六章 计算机的运算方法

信息在机器内部的形式都是一致的，均以 0 和 1 组成的各种编码，以下内容主要介绍参与运算的各种数据（无符号数和有符号数，定点数和浮点数等）以及它们在计算机中的算术运算方法。

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6.1 无符号数和有符号数

在计算机中参与运算的数有两大类，分别是：无符号数和有符号数。

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6.1.1 无符号数

所谓无符号数即没有符号的数，在寄存器中的每一位均可用来存放数值。以机器字长为 n 为例，无符号数的表示范围为 0 ~ 2ⁿ-1。

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6.1.2 有符号数

1. 机器数与真值

对于有符号数而言，符号的 “正”、“负” 机器是无法识别的，但由于 “正”、“负” 恰好是两种截然不同的状态，正好可以用 “0” 表示 “正”，用 “1” 表示 “负”，这样符号也被数字化了，并且规定将它放在有效数字的前面，这样就组成了有符号数。当存放有符号数时，则需留出位置存放 “符号”，同样以机器字长为 n 为例，有符号数的表示范围为 -2^n-1-1 ~ 2^n-1-1。

把符号 ”数字化“ 的数叫作机器数，而把带 “+” 或 ”-“ 符号的数叫作真值。

以二进制数 +0.1011、-0.1011、+1011、-1011 为例，其机器数表示：

小数点是以约定的方式给出，没有任何硬件用于标识小数点的位置，这样可以将定点计算机分为两类，一类是小数点在符号位的后面，这种机器称为小数定点器；另外一类就是小数点在数值的后面，就是整数定点器。

2. 原码表示法

计算机中所有的数均用 0 和 1 编码表示，数字的正负号也不例外，如果一个机器数字长是 n 位的话，约定最左边一位用作符号位，其余 n-1 位用于表示数值。其符号位为 0 表示正数，符号位为 1 表示负数，数值位即真值的绝对值。凡不足 n-1 位的，小数在最底位右边加零；整数则在最高位左边加零已补足 n-1 位。这种计算机的编码形式叫作原码，又称作带符号的绝对值表示。记作 [X]_原。

原码的定义：

• 小数的定义
  $$[X{]}_{原}=\{\begin{array}{c}x1>x\ge 0\\ 1-x0\ge x>-1\end{array}$$
  其中 X 表示真值，[X]_原：机器数的原码表示形式

例如：(字长为 5 )
当 x = +0.1101 时，[X]_原=0.1101
当 x = -0.1101 时，[X]_原=1-(-0.1101)=1.1101

• 整数的定义
  $$[X{]}_{原}=\{\begin{array}{c}0,x{2}^n>x\ge 0\\ 2^n-x0\ge x>-2^n\end{array}$$
  其中 X 表示真值，[X]_原：机器数的原码表示形式，n 为整数的位数

例如：(字长为 5 )
当 x = +1110 时，[X]_原=0,1110
当 x = -1110 时，[X]_原=2⁴-(-1110)=1,1110

为了区分整数和小数，约定整数的符号位与数值位之间用逗号 "," 隔开；小数的符号位与数值之间用小数点 "." 隔开。

如上面四个数在字长为 8 的机器数下原码分别表示为：

真值	公式	原码 (8字长)
+0.1011	[+0.1011]原 = 0.1011	0.1011000
-0.1011	[-0.1011]原 = 1.1011	1.1011000
+1100	[+1100]原 = 0,1100	0,0001100
-1100	[-1100]原 = 1,1100	1,0001100

0 的原码可分为四种情况：

真值	公式	原码 (8字长)
+0.0000	[+0.0000]原 = 0.0000	0.0000000
-0.0000	[-0.0000]原 = 1.0000	1.0000000
+0	[+0]原 = 0,1100	0,0000000
-0	[-0]原 = 1,1100	1,0000000

由此可得：[+0]_原 != [-0]_原

原码的表示虽然比较简单明了，且易于和真值进行转换，但是进行加减运算时却有很多麻烦，例如：

操作命令	A的符号	B的符号	实际操作	结果符号
加法	正	正	加法	正
加法	正	负	减法	可正可负
加法	负	正	减法	可正可负
加法	负	负	加法	负

一个加法运算，实际上会因为符号的差别，在实际操作的过程中变成减法运算，能否让它只作加法呢？

找到一个与负数等价的正数来代替这个负数，就可使减法转变为加法。而机器数采用补码时就能满足此要求。

3. 补码表示法

在介绍补码概念之前，先介绍一下“模”的概念：“模”是指一个计量系统的计数范围，如过去计量粮食用的斗、时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，因为计算机的字长是定长的，即存储和处理的位数是有限的，因此它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。如：时钟的计量范围是 0~11，模=12。表示 n 位的计算机计量范围是 0 ~ 2ⁿ-1，模 = 2ⁿ。“模” 实质上是计量器产生 “溢出” 的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

假设当前时针指向 6 点，而准确的时间是 3 点，调整时间可有以下两种拨法：一种是倒拨 3 个小时，即 6-3；另一种是顺拨 9 小时，即 6+9=12+3=6，即 6-3=6+9=6+12-3(mod 12)，在 12 为模的系统里，加 9 和减 3 的效果是一样的，因此凡是减 3 的运算都可以用加 9 来代替。若用一般公式可表示为：a-b=a-b+mod=a+mod-b。对 “模” 而言，3 和 9 互为补数。实际上，以 12 为模的系统中，11和1，10和2，8和4，7和5，6和6都有这个特性，共同的特点是两者相加等于模，也可以说当模为 12 时， 9 是 -3 的补数。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n 位计算机，设 n=8，所能表示的最大数是 11111111，若再加 1 成 100000000(9位)，但因只有8 位，最高位 1 自然丢失（相当于丢失一个模）。又回到了 00000000，所以 8 位二进制系统的模为 2⁸。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。记作 [X]_补。

补码的定义：

• 小数的定义
  $$[X{]}_{补}=\{\begin{array}{c}x1>x\ge 0\\ 2+x0>x\ge -1(mod2)\end{array}$$
  其中 X 表示真值，[X]_补：机器数的补码表示形式

例如：(字长为 5 )
当 x = +0.1001 时，[X]_补=0.1001
当 x = -0.0110 时，[X]_补=2+x=10.0000-0.0110=1.1010

• 整数的定义
  $$[X{]}_{补}=\{\begin{array}{c}0,x{2}^n>x\ge 0\\ 2^{n+1}+x0>x\ge -2^n(mod{2}^{n+1})\end{array}$$
  其中 X 表示真值，[X]_补：机器数的补码表示形式，n 为整数的位数

例如：(字长为 5 )
当 x = +1010 时，[X]_补=0,1010
当 x = -1101 时，[X]_补=2ⁿ⁺¹+x=100000-1101=1,0011

求补码的快捷方式：

• ① 当真值为 正 时，补码就是其原码的本身
• ② 当真值为 负 时，补码可用原码除符号位每位取反，末位加 1 求得

如上面四个数在字长为 8 的机器数下补码分别表示为：

真值	[x]原 (8字长)	[x]补 (8字长)
+0.1011	0.1011000	0.1011000
-0.1011	1.1011000	1.0101000
+1100	0,0001100	0,0001100
-1100	1,0001100	1,1110100

0 的补码可分为四种情况：

真值	[x]原 (8字长)	[x]补 (8字长)
+0.0000	0.0000000	0.0000000
-0.0000	1.0000000	0.0000000
+0	0,0000000	0,0000000
-0	1,0000000	0,0000000

由此可得：[+0]_补 = [-0]_补

4. 反码表示法

反码通常是用来由原码求补码或者由补码求原码的过渡码。

反码的定义：

• 小数的定义
  $$[X{]}_{补}=\{\begin{array}{c}x1>x\ge 0\\ (2-2^{-n})+x0\ge x>-1(mod(2-2^{-n}))\end{array}$$
  其中 X 表示真值，[X]_反：机器数的反码表示形式，n 为小的位数

例如：(字长为 5 )
当 x = +0.0110 时，[X]_反=0.0110
当 x = -0.0110 时，[X]_反=(2-2^-4)+x=1.1111-0.0110=1.1001

• 整数的定义
  $$[X{]}_{补}=\{\begin{array}{c}0,x{2}^n>x\ge 0\\ (2^{n+1}-1)+x0\ge x>-2^n(mod(2^{n+1}-1))\end{array}$$
  其中 X 表示真值，[X]_反：机器数的反码表示形式，n 为整数的位数

例如：(字长为 5 )
当 x = +1101 时，[X]_反=0,1101
当 x = -1101 时，[X]_反=(2⁴⁺¹-1)+x=11111-1101=1,0010

如上面四个数在字长为 8 的机器数下反码分别表示为：

真值	[x]原 (8字长)	[x]补 (8字长)	[x]反 (8字长)
+0.1011	0.1011000	0.1011000	0.1011000
-0.1011	1.1011000	1.0101000	1.0100111
+1100	0,0001100	0,0001100	0,0001100
-1100	1,0001100	1,1110100	1,1110011

0 的反码可分为四种情况：

真值	[x]原 (8字长)	[x]补 (8字长)	[x]反 (8字长)
+0.0000	0.0000000	0.0000000	0.0000000
-0.0000	1.0000000	0.0000000	1.1111111
+0	0,0000000	0,0000000	0,0000000
-0	1,0000000	0,0000000	1,1111111

由此可得：[+0]_反 != [-0]_反

综上所述，三种机器数的特点可归纳如下：

• 三种机器数的最高位均为符号位。符号位和数值部分之间可用 "."（对于小数）或 ","（对于整数）隔开
• 当真值为正时，原码、补码和反码的表示形式均相同，即符号位用 0 表示，数值部分与真值相同
• 当真值为负时，原码、补码和反码的表示形式不同，但其符号位都用 1 表示，而数值部分有如下关系，即补码是原码的 求反加 1，反码是原码的 每位求反

假设机器数字长位 8 位（其中一位为符号位），对于整数，当其分别代表无符号数、原码、补码和反码时，对应的真值范围：

5. 移码表示法

当真值用补码表示时，由于符号位和数值部分一起编码，与习惯上的表示不同，因此人们很难从补码的形式上直接判断其真值的大小。

例如：（假设机器字长为 6 位）
$$\begin{gathered} 十进制的数x=21，对应的二进制数为+10101，则[x{]}_{补}=0,10101 \\ 十进制的数x=-21，对应的二进制数为-10101，则[x{]}_{补}=1,01011 \end{gathered}$$
上述补码表示中 "," 逗号在计算机内部是不存在的，因此，从代码形式看，符号位也是一位二进制数。按这六位二进制代码比较其大小的话就会得出 101011 > 010101，其实恰恰相反

如果对每个真值加上一个 2ⁿ （ n 为整数的位数），情况就会发生了变化，如：
$$\begin{gathered} x=10101加上2^5可得10101+100000=110101 \\ x=-10101加上2^5可得-10101+100000=001011 \end{gathered}$$
比较它们的结果可见，110101 > 001011，这样一来从六位代码本身就可看出真值的实际大小。

由此可得移码的定义：
$$[x{]}_{移}=2^n+x(2^n>x\ge -2^n)$$
其中 X 表示真值，[X]_移：机器数的移码表示形式，n 为真值的位数

例如：(字长为 6 )
当 x = 10100 时，[X]_移=2⁵+10100=1,10100
当 x = -10100 时，[X]_移=2⁵-10100=0,01100

如上面四个数在字长为 8 的机器数下移码分别表示为：

真值	[x]原 (8字长)	[x]补 (8字长)	[x]反 (8字长)	[x]移 (8字长)
+0.1011	0.1011000	0.1011000	0.1011000	1.1011000
-0.1011	1.1011000	1.0101000	1.0100111	0.0101000
+1100	0,0001100	0,0001100	0,0001100	1,0001100
-1100	1,0001100	1,1110100	1,1110011	0,1110100

0 的移码可分为四种情况：

真值	[x]原 (8字长)	[x]补 (8字长)	[x]反 (8字长)	[x]移 (8字长)
+0.0000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	1.0000000
-0.0000	1.0000000	0.0000000	1.1111111	1.0000000
+0	0,0000000	0,0000000	0,0000000	1,0000000
-0	1,0000000	0,0000000	1,1111111	1,0000000

由此可得：[+0]_补 = [-0]_补

进一步观察发现，同一个真值的移码和补码仅差一个符号位，简单的说就是：原码的补码在符号位上取反就是移码。

真值、补码和移码的对应关系

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6.2 数的定点表示和浮点表示

在计算机中，小数点不用专门的器件表示，而是按约定的方式标出，共有两种方法来表示小数点的存在，即定点表示和浮点表示。定点表示的数称为定点数，浮点表示的数称为浮点数。

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6.2.1 定点表示

小数点固定在某一位置的数为定点数，有以下两种格式：

当小数点位于符号位和第一数值位之间时，机器内的数为纯小数；当小数位于数值位之后，机器内的数为纯整数。

采用定点数的机器叫做定点机。数值部分的位数 n 决定了定点机中数的表示范围。

不同定点机用原码、补码、反码的表示范围

定点机	小数定点机	整数定点机
原码	-(1-2-n) ~ +(1-2-n)	-(2n-1) ~ +(2n-1)
补码	-1 ~ +(1-2-n)	-2n ~ +(2n-1)
反码	-(1-2-n) ~ +(1-2-n)	-(2n-1) ~ +(2n-1)

在定点机中，由于定点机中的小数点位置固定不变，所以机器处理的数不是纯小数或纯整数时，必须乘上一个比例因子，否则会产生溢出。

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6.2.1 浮点表示

实际上计算机中处理的数不一定是纯小数或纯整数，而且有些数据的数值范围相差很大，它们都不能直接用定点小数或定点整数表示，但均可用浮点数表示。

浮点数即小数点的位置可以浮动的数，如：
$$\begin{gathered} 352.47=3.5247\times 10^2 \\ =3524.7\times 10^{-1} \\ =0.35247\times 10^3 \end{gathered}$$
显然，这里小数点的位置是变化的，但因为分别乘上了不同的 10 的幂次方，故值不变。

通常浮点数可以表示成：
$$N=S\times r^j$$
式中 S 为尾数（可正可负），j 为阶码（可正可负），r 是基数（或基值）

计算机中基数 r 可取 2、4、8 或 16 等，以基数 2 为例，数 N 可写成下列不同形式：
$$\begin{gathered} N=11.0101 \\ =0.110101\times 2^{10} \\ =1.10101\times 2^1 \\ =1101.01\times 2^1 \\ =0.00110101\times 2^{100} \\ =...... \end{gathered}$$
PS：二进制中 2^x 中的 x 也是二进制表示，比如 x=10，就是 2，则是向右移动 2 位；x=-110，就是 -3，则向左移动 3 位

在计算机中规定浮点数的尾数用纯小数形式，故上例中 0.110101×210 和 0.00110101×2100 是可以采用的。此外，将尾数最高位为 1 的浮点数称作规格化数，即 0.110101×210 为浮点数的规格化形式。

1. 浮点数的表示形式

浮点数在机器中的形式如下：

组成部分：

• j — 阶码部分
  • jf — 阶符：代表阶码的正负
  • j1j2 ··· jm — 阶码的数值部分：结合阶符反应浮点数的表示范围及小数点的实际位置
• S — 尾数部分
  • Sf — 数符：代表浮点数的正负
  • S1S2 ··· Sn — 尾数的数值部分：尾数是小数，其位数 n 反应了浮点数的精度

采用这种数据格式的机器叫作浮点机。

2. 浮点数的表示范围

以通式 N=S×rj 为例，设浮点数阶码的数值取 m 位，尾数的数值位取 n 位，当浮点数为非规格化数时

• 最大正数：$$2^{(2^m-1)}\times (1-2^{-n})$$
• 最小正数：$$2^{-(2^m-1)}\times 2^{-n}$$
• 最大负数：$$2^{-(2^m-1)}\times 2^{-n}$$
• 最小负数：$$-2^{(2^m-1)}\times (1-2^{-n})$$

当浮点数阶码大于最大阶码时，称为 “上溢”，此时机器停止运算，进行中断溢出处理；当浮点数阶码小于最小阶码时，称为 “下溢”，此时 “溢出” 的绝对值很小，通常将尾数各位强制为零，按机器零处理，此时机器可以继续运行。

3. 浮点数的规格化

为了提高浮点数的精度，其尾数必须规格化。如果不是规格化数，就要通过修改阶码并同时左右移尾数的办法，使其变成规格化数。将非规格化数转换成规格化数的过程叫作规格化。规格化时，尾数左移叫做向左规格化，简称左规；尾数右移做向右规格化，简称右规。

对于基数不同的浮点数，因其规格化数的形式不同，规格化过程也不同。

当基数为 2（即：21） 时，尾数最高 1 位不为 0 的数为规格化数。规格化时，尾数左移 1 位，阶码减 1；尾数右移 1位，阶码加 1。

当基数为 4（即：22） 时，尾数最高 2 位不为 0 的数为规格化数。规格化时，尾数左移 2 位，阶码减 1；尾数右移 2位，阶码加 1。

当基数为 8（即：23） 时，尾数最高 3 位不为 0 的数为规格化数。规格化时，尾数左移 3 位，阶码减 1；尾数右移 3位，阶码加 1。

由此可得，当基数为 2n 时，尾数最高 n 位不为 0 的数为规格化数。规格化时，尾数左移 n 位，阶码减 1；尾数右移 n位，阶码加 1。

浮点机中一旦基数确定后就不再变了，而且基数是隐含的，一般来说，基数 r 越大，可表示的浮点数范围越宽，但浮点数的精度反而会下降。

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6.2.3 定点数和浮点数的比较

• （1）当浮点机和定点机中的数其位数相同时，浮点数的表示范围比定点数大得多
• （2）当浮点数为规格化数时，其精度远比定点数高
• （3）浮点数运算要分阶码部分和尾数部分，而且运算结果都要求规格化，故浮点运算步骤比定点运算步骤多，运算速度比定点低，运算线路比定点复杂
• （4）在溢出的判断上，浮点数是对规格化数的阶码进行判断，而定点数是对数本身进行判断

总之，浮点数在数的表示范围、数的精度、溢出处理和程序编码方面均优于定点数，但在运算规格、运算速度及硬件成本方面不如定点数。

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6.2.4 IEEE 754 标准

现代计算机中，浮点数一般采用 IEEE 制定的国际标准，这种标准形式如下：

按 IEEE 标准，常用的浮点数有三种：

类型	符号位 S	阶码	尾数	总位数	偏移量(十进制)	偏移量(十六进制)
短实数	1	8	23	32	+127	7FH
长实数	1	11	52	64	+1023	3FFH
临时实数	1	15	64	80	+16383	3FFFH

其中 S 为数符，它表示浮点数的正负，但与其有效位（尾数）是分开的，阶码用移码表示，阶码的真值都被加上一个常数（偏移量）。尾数部分通常是规格化表示，即非 0 的有效位最高位总数 1，所以在实际表示中，对短实数和长实数，这个整数位的 1 省略，称隐藏位；对于临时实数不采用隐藏位方案。

以 32 位浮点数格式为例：

• S：为数符，表示浮点数的正负，0 正 1 负
• 阶码：8 位以 2 为底，阶码 = 阶码真值 + 127
• 尾数：23 位，采用隐含尾数最高位为 1 的表示方法，实际尾数 24 位，尾数真值 = 1 + 尾数

这种格式的非 0 浮点数真值为：(-1)s×2阶码-127×(1+尾数)

例 1：将 (-0.11)₂ 用 IEEE 短实数浮点格式表示
解：转为规格化数（隐含尾数最高位为 1）的形式：(-0.11)₂= -1.1×2^-1，可知阶码为：-1，尾数为：0.1
因为该数为负数，所以数符为 1：S = 1
阶码：阶码 = 阶码真值 + (127)₁₀= (-1)₂+ (127)₁₀= (-1)₂+(01111111)₂=(01111110)₂
尾数：0.1 => 1000 0000 0000 0000 0000 000
所以短实数浮点格式表示为 1 01111110 10000000000000000000000

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例 2：将十进制数 178.125 用 IEEE 浮点格式表示
解：转为二进制数 (178.125)₁₀=(10110010.001)₂
转为规格化数（隐含尾数最高位为 1）表示：1.0110010001×2¹¹¹，可知阶码为：111，尾数是：0.0110010001
因为该数为正数，所以数符为 0：S = 0
阶码：阶码 = 阶码真值 + (127)₁₀= (111)₂+ (127)₁₀= (111)₂+(01111111)₂=(10000110)₂
尾数：0.0110010001 => 0110 0100 0100 0000 0000 000
所以短实数浮点格式表示为 0 10000110 01100100010000000000000

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例 3：将十进制数 100.25 用 IEEE 浮点格式表示
转为二进制数 (100.25)₁₀=(1100100.01)₂
转为规格化数：1.10010001×2¹¹⁰，可知阶码为：110，尾数是：0.10010001
因为该数为正数，所以数符为 0：S = 0
阶码：阶码 = 阶码真值 + (127)₁₀= (110)₂+ (127)₁₀= (111)₂+(01111111)₂=(10000101)₂
尾数：0.0110010001 => 1001 0001 0000 0000 0000 000
所以短实数浮点格式表示为 1 10000101 10010001000000000000000

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6.3 定点运算

定点运算包括位移、加、减、乘除几种。

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6.3.1 移位运算

1. 移位的意义

在计算机中小数点的位置是事先约定的，因此，二进制表示的机器数在相对于小数点作 n 位左移或右移时，其实质就使该数乘以或除以 2ⁿ。

移位运算又称为移位操作，对计算机来说是有很大价值的。例如，当某计算机没有乘（除）法运算线路时，可以采用移位和加法相结合实现乘（除）运算。

2. 逻辑移位规则

无符号的移位称为逻辑移位，逻辑移位的规则是：逻辑左移时，高位移出，低位添 0；逻辑右移时，低位移出，高位添 0。

3. 算术移位规则

有符号的移位称为算术移位，移位时符号位保持不变，数值部分进行位移。

对于正数，由于 [x]_原 = [x]_补 = [x]_反 = 真值，故移位后出现的空位均以 0 添之；对于负数，由于原码、补码和反码的表示形式不同，故当机器数移位时，对于其空位的添补规则也不同。

4. 算术位移和逻辑位移的区别

例如，当寄存器内容为 01010011 时，逻辑左移为 10100110，算术左移为 00100110（最高数位 1 移丢）。又如寄存器内容为 10110010，逻辑右移为 01011001，若将其视为补码，算术右移为 11011001。

显然两种位移的结果是不同的，为了避免算术左移时最高数位丢 1，可采用带进位（Cy）的位移，算术左移时，符号位移至 Cy，最高数位就可避免移出。

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6.3.2 加法与减法运算

加法运算是计算机中最基本的运算，而减法运算也能看作是加法运算，例如：A - B = A + (-B)

之前有提过原码做加减法运算会有很多麻烦，于是采用了补码解决这类问题，所以在计算机中加减法是通过补码加减进行运算的

1. 补码加减运算的基本公式

补码加法的基本公式：

• 整数：$$[A{]}_{补}+[B{]}_{补}=[A+B{]}_{补}(mod{2}^{n+1})$$

案例：设机器字长为 5 位（包含符号位）已知 A = -1001，B = -0101，求：[A + B]_补
解：因为 A = -1001，B = -0101
所以 [A]_补 = 1,0111，[B]_补 = 1,1011
则 [A]_补 + [B]_补 = 11,0010
再模以 2⁴⁺¹ ，左边的 1 丢去得 1,0010

• 小数：$$[A{]}_{补}+[B{]}_{补}=[A+B{]}_{补}(mod2)$$

案例：设机器字长为 5 位（包含符号位）已知 A = 0.1011，B = -0.0101，求：[A + B]_补
解：因为 A = 0.1011，B = -0.0101
所以 [A]_补 = 0.1011，[B]_补 = 1.1011
则 [A]_补 + [B]_补 = 10.0110
再模以 2 ，左边的 1 丢去得 0.0110

补码减法的基本公式：

• 整数：$$[A-B{]}_{补}=[A{]}_{补}+[-B{]}_{补}(mod{2}^{n+1})$$

案例：设机器字长为 8 位（包含符号位），若 A = +15，B = +24，求：[A - B]_补 并还原成真值
解：因为 A =(+15)₁₀=(0,0001111)₂，B = (+24)₁₀ = (0,0011000)₂
所以 [A]_补 = 0,0001111，[B]_补 = 0,0011000，[-B]_补 = 1,1101000
则 [A - B]_补 = [A]_补 + [-B]_补 = 0,0001111 + 1,1101000 = 1,1110111
故 A - B = -0001001 = -9

• 小数：$$[A-B{]}_{补}=[A{]}_{补}+[-B{]}_{补}(mod2)$$

案例：设机器字长为 8 位（包含符号位），若 A = +0.25，B = -0.125，求：[A - B]_补 并还原成真值
解：因为 A =(+0.25)₁₀=(0.0100000)₂，B = (-0.125)₁₀ = (1.0001000)₂
所以 [A]_补 = 0.1100000，[B]_补 = 1.1111000，[-B]_补 = 0.0001000
则 [A - B]_补 = [A]_补 + [-B]_补 = 0.1100000 + 0.0001000 = 0.1101000
故 A - B = 0.0010000 = +0.25

2. 溢出判断

如上述案例中 [A-B]_补 = 0,1110110，还原真值得 A - B = 118，而实际上 A - B 应该等于 -138，原因是 -138 超出了机器字长所能表示的范围。在计算机中，这种超出机器字长的现象，叫 溢出。

补码定点加减运算判断溢出有两种方法：

（1）用一位符号位判溢出

不论是作加法还是减法，只要实际参加操作的两个数（减法时即为被减数和 “求补” 以后的减少）符号相同，结果又与原操作数的符号不同，即为溢出。

（2）用两位符号位判溢出

双符号补码又叫作 变形补码，它是以 4 为模的，在阶码运算和溢出判断中，有着特殊的作用，定义为：
$$[X{]}_{{补}^{\prime }}=\{\begin{array}{c}x1>x\ge 0\\ 4+x0>x\ge -1(mod4)\end{array}$$
在用变形补码作加法时，两位符号要连同数值部分一起参加运算，而且高位符号产生的进位自动丢失，便可得正确结果，即：
$$[x{]}_{{补}^{\prime }}+[y{]}_{{补}^{\prime }}=[x+y{]}_{{补}^{\prime }}(mode4)$$
变形补码判断溢出得原则是：当两位符号位不同时，表示溢出，否则无溢出。

不论是否发生溢出，高位（第一位）符号位永远代表真正的符号。

3. 补码定点加减法所需的硬件配置

寄存器 A、X、加法器的位数相等，其中 A 存放被加数（或被减数）的补码，X 存放加数（或减数）的补码。当作减法时，由 “求补控制逻辑” 将 $\overline{\text{X}}$ 送至加法器，并使加法器的最末位外来进位为 1，以达到对减数求补码的目的。运算结果溢出时，通过溢出判断电路置 “1” 溢出标记 V。G_A 为加法标记，G_S 为减法标记。

3. 补码加减运算控制流程

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6.3.3 乘法运算

在计算机中，有的机器由硬件乘法器直接完成乘法运算，有的机器内没有乘法器，但也可以进行乘法运算，用软件编程实现。

1. 乘法分析

可通过一个案例来了解计算机中乘法的运算规则，例如：

设 A=0.1101，B=0.1011，求 A×B

笔算过程如下：

可见在乘法运算中通过被乘数 A 多次的左移，然后对四个位积做相加运算就能得到结果

改进为：

可见两数相乘的过程可视作加法和移位（乘 2^-1 相当于做一次右移）两种运算

从初始值为 0 开始，作分步运算，则：

上述运算过程可归纳为：

• ① 乘法运算可用移位和加法来实现，当两个四位数相乘，总共需做四次加法和四次移位
• ② 由乘数的末位值确定被乘数是否与原部分积相加，然后右移一位，形成新的部分积；同时，乘数也右移一位，由次低位作新的末位，空出最高位放部分积的最低位
• ③ 每次做加法时，被乘数仅仅与原部分积的高位相加，其低位被移至乘数所空出的高位置

计算机很容易实现这种运算。用一个寄存器存放被乘数，一个寄存器存放乘积的高位，另一个寄存器存放乘数及乘积的低位，再配上加法器及其他相应的电路，就可组成乘法器。

在第一章时就有介绍过运算器的基本组成结构：

在乘法运算中，ACC 寄存器用于存放乘积高位，MQ 寄存器用于存放乘数及乘积低位，X 寄存器用于存放被乘数

2. 原码乘法

原码表示与真值极为相似，只差一个符号，而乘积的符号又可通过两数符号的逻辑异或求得。

（1）原码一位乘运算规则

以小数点为例，设：
$$\begin{gathered} [x{]}_{原}=x_0.x_1{x}_2\cdot \cdot \cdot x_n \\ [y{]}_{原}=y_0.y_1{y}_2\cdot \cdot \cdot y_n \end{gathered}$$

则：$$[x{]}_{原}\cdot [y{]}_{原}=x_0\oplus y_0.(0.x_1{x}_2\cdot \cdot \cdot x_n)(0.y_1{y}_2\cdot \cdot \cdot y_n)$$

式中 $0.x_1{x}_2\cdot \cdot \cdot x_n$ 为 $x$ 的绝对值，记作 $x^{\ast }$，$0.y_1{y}_2\cdot \cdot \cdot y_n$ 为 $y$ 的绝对值，记作 $y^{\ast }$

原码一位乘的运算规则为：

• ① 乘积的符号由两原码符号位异或运算结果决定
• ② 乘积的数值部分由两数绝对值相乘，其通式为：

再令 $z_i$ 表示第 $i$ 次部分积，上式可写成递推公式：

（2）原码一位乘所需的硬件配置

图中 A、X、Q 均为 n+1 位的寄存器，其中 X 存放被乘数的原码，Q 存放乘数的原码。移位和加控制电路受末位乘数 Q_n 的控制（当 Q_n =1 时，A 和 X 内容相加后，A、Q 右移一位；当 Q_n =0 时，只作 A、Q 右移一位的操作）。计数器 C 用于控制逐位相乘的次数。S 存放乘积的符号。G_M 为乘法标记。

（3）原码一位乘控制流程

乘法运算前，A 寄存器被清零，作为初始部分积，被乘数原码在 X 中，乘数原码在 Q 中，计数器 C 中存放乘数的位置 n。乘法开始后，首先通过异或运算，求出乘积的符号并存于 S，接着将被乘数和乘数从原码形式变为绝对值，然后根据 Q_n 的状态决定部分积是否加上被乘数，再逻辑右移一位，重复 n 次，即得运算结果

可以用 A=0.1101，B=0.1011，求 A×B 为例，来演示在计算机中是如何进行上述操作的：

符号位通过A、B符号位的异或运算结果决定：$0\oplus 0$ = 0，所以结果为：0.10001111

（4）原码两位乘

原码两位乘与原码一位乘一样，符号位的运算和数值部分是分开进行的，但原码两位乘是用两位乘数的状态来决定新的部分积如何形成，因此可提高运算速度。

两位乘数共有四种状态，对应这四种状态可得：

双符号位对应情况：

双符号位	对应情况	说明
00	正
01	下溢	如果两个正数都很大，数值位最高位很容易发生向符号位低位的进位
10	上溢	在自然情况下，符号位运算的结果为10，如果两个负数都很小，数值位最高位很难发生向符号位低位的进位/补充
11	负

3. 补码乘法

（1）补码一位乘（Booth 算法）运算规则

和原码一位乘法不同的是，补码一位乘法（Booth 算法）是双符号位，并且符号位也会与数值一起参加运算，直接得出用补码表示的乘积，且正数和负数同等对待，采用补码右移方式，区别于原码乘法的逻辑右移，补码的右移是算术右移。

补码乘法运算规则如下：

• ① 乘数最低位增加一位辅助位 $y_{n-1}=0$
• ② 根据 $y_n{y}_{n-1}$ 的值，决定是 “+[x]_补”、“-[x]_补”、还是 “+0”
• ③ 每次加减后，算术右移一位，得到部分积
• ④ 重复第 ② 和第 ③ 步 n 次，结果得 [x×y]_补

yn（高位）	yn-1（低位）	操作
0	0	部分积加 0，右移一位
0	1	部分积 +[x]补，右移一位
1	0	部分积 +[-x]补，右移一位
1	1	部分积加 0，右移一位

（2）补码比较法（Booth 算法）所需的硬件配置

图中 A、X、Q 均为 n+2 位寄存器，其中 X 存放被乘数的补码（含两位符号位），Q 存放乘数的补码（含最高一位符号位和最末一位附加位），移位和加法控制逻辑受 Q 寄存器末 2 位乘数控制。当其为 01 时，A、X 内容相加后 A、Q 右移一位，当其为 10 时，A、X 内容相减后 A、Q 右移一位，计数器 C 用于控制逐位相乘的次数，G_M 为乘法标记。

（3）补码比较法（Booth 算法）的控制流程

以 A=-0.1101，B=0.1011，求 A×B 为例，来演示在计算机中补码乘法是如何进行上述操作的：

可得 [x]_补 · [y]_补 = 11.011100010，补码 11.011100010 的原码为 ：11.100011110，即 1.10001111

（4）补码两位乘

补码两位乘运算规则是根据补码一位乘的规则，把比较 y_ny_n+1 的状态应执行的操作比较 y_n-1y_n 的状态应执行的操作合并成一步，便可得补码两位乘的运算方法。

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6.3.4 除法运算

1. 除法分析

以小数为例，设 x = -0.1011，y = 0.1101，求 x/y

笔算过程如下：

其特点可归纳为：

• ① 比较余数（被除数）和除数的大小，确定商为 ”1“ 还是 ”0“
• ② 每做一次减法，总是保持余数不动，低位补 0，再减去右移后的除数
• ③ 商符单独处理

对于计算机而言：

• ① 余数（被除数）和除数的比较可以通过 |x| - |y| 得来，若差为正（够减）上商 1，差为负（不够减）上商 0
• ② 每次减法总保持余数不动低位补 0，再减去右移后的除数
• ③ 将每一位商直接写到寄存器的最低位，并把原来的部分商左移一位

2. 原码除法

原码除法和原码除法一样，符号位是单独处理的。

以小数点为例，设：
$$\begin{gathered} [x{]}_{原}=x_0.x_1{x}_2\cdot \cdot \cdot x_n \\ [y{]}_{原}=y_0.y_1{y}_2\cdot \cdot \cdot y_n \end{gathered}$$

则：$$[\frac{x}{y}{]}_{原}=(x_0\oplus y_0)\cdot \frac{(0.x_1{x}_2\cdot \cdot \cdot x_n)}{(0.y_1{y}_2\cdot \cdot \cdot y_n)}$$

式中 $0.x_1{x}_2\cdot \cdot \cdot x_n$ 为 $x$ 的绝对值，记作 $x^{\ast }$，$0.y_1{y}_2\cdot \cdot \cdot y_n$ 为 $y$ 的绝对值，记作 $y^{\ast }$

即商符由两数符号位 ”异或“ 运算求得，商值由两数绝对值相除 (x^*/y^*) 求得。小数定点除法对被除数和除数有一定的约束，即必须满足下列条件：
$$0<|被除数|\le |除数|$$
实现除法运算时，还应避免除数为 0 或被除数为 0。至于商的位数一般与操作数的位数相同。

在除法运算中，ACC 寄存器用于存放被除数及余数，MQ 寄存器用于存放商，X 寄存器用于存放除数

原码除法中由于对余数的处理不同，又可分为恢复余数法和不恢复余数法（加减交替法）两种：

（1）恢复余数法

恢复余数法的特点是：当余数为负时，需加上除数，将其恢复成原来的余数。

设机器字长为 5 位（含一位符号位），x=0.1011，y=0.1101，采用原码恢复余数求 x/y

符号位进行异或操作： $0\oplus 0$ = 0，结果为：0.1101

（2）加减交替法

加减交替法又称不恢复余数法，可以认为它是恢复余数法的一种改进算法。

通过原码恢复余数法可归纳为：当 R_i > 0，商上 “1”，做 2R_i-y^* 的运算；当 R_i < 0，商上 “0”，做 2R_i+y^* 的运算。

这里已经看不出余数的恢复问题了，而只是做加 y^* 或减 y^*，因此，一般把它叫做加减交替法或不恢复余数法。

仍以上述例题为例：设机器字长为 5 位（含一位符号位），x=0.1011，y=0.1101，采用原码加减交替法求 x/y

符号位进行异或操作： $0\oplus 0$ = 0，结果为：0.1101

（3）原码加减交替法所需的硬件配置

图中 A、X、Q 均为 n+1 位寄存器，其中 A 存放被除数的原码，X 存放除数的原码。移位和加控制逻辑受 Q 的末位 Q_n 控制。（Q_n=1 作减法，Q_n=0 作加法），计算器 C 用于控制逐位相除的次数 n，G_D 为除法标记，V 为溢出标记，S 为商符。

（4）原码加减交替除法控制流程

3. 补码除法

与补码乘法类似，也可以用补码完成除法操作。补码除法也分恢复余数法和加减交替法，后者用得较多。

（1）补码加减交替法运算规则

补码除法其符号位和数值部分是一起参加运算的，因此在算法上不像原码除法那样直观，其规则如下：

[Ri]补 与 [y]补	商	新余数[Ri+1]补
同号	1	[Ri+1]补 = 2[Ri]补 + [-y]补
异号	0	[Ri+1]补 = 2[Ri]补 + [y]补

因为精度的问题，约定商的末位用 “恒置 1” 的舍入规则。

（3）补码加减交替法所需的硬件配置

补码加减交替法所需的硬件配置与原码加减交替法的硬件配置相似，只是 S 触发器可以省掉，因为补码除法的商符在运算中自动形成。此外，在寄存器中存放的均为补码。

（3）补码加减交替法的控制流程

设机器字长为 5 位（含一位符号位），x=-0.1001，y=0.1101，采用补码加减交替法求 [x/y]_补

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6.4 浮点运算

机器中的任何一个浮点数都可写成：
$$x=S_x\cdot r^{j_x}$$
其中，$S_x$ 为浮点数的尾数，一般为绝对值小于 1 的规格化数（补码表示时允许为 -1），机器中可用原码或补码表示；$j_x$ 为浮点数的阶码，一般为整数，机器中大多用补码或移码表示；$r$ 为浮点数的基数，常用 2、4、8 或 16 表示，以下以基数为 2 进行讨论。

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6.4.1 浮点加减运算

设两个浮点数：$x=S_x\cdot r^{j_x}$ 、$y=S_y\cdot r^{j_y}$

由于浮点数尾数的小数点均固定在第一数值位前，所以尾数的加减运算规则与定点数完全相同，但由于其阶码的大小又直接反映尾数有效值得小数点位置，因此当两浮点数阶码不等时，因两尾数小数点的实际位置不一样，尾数部分无法直接进行加减运算。因此，浮点数加减运算必须按以下几个步骤进行：

• ① 对阶，使两数的小数点位置对齐
• ② 尾数求和，将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和（差）
• ③ 规格化，为增加有效数字的位数，提高运算精度，必须将求和（差）后的尾数规格化
• ④ 舍入，为提高精度，要考虑尾数右移时丢失的数值位
• ⑤ 判断结果，即判断结果是否溢出

1. 对阶

对阶的目的是使两操作数的小数点位置对齐，即使两数的阶码相等。为此，首先要求出阶差，再按小阶向大阶看齐的原则，使阶小的尾数向右移位，每右移一位，阶码加 1，直到两数的阶码相等为止。右移的次数正好等于阶差，尾数右移可能会发生数码丢失，影响精度。

例如：两浮点数 x=0.1101×2⁰¹，y=(-0.1010)×2¹¹，求 x+y。

在求和前需要先将其阶码同样，x 的阶码使 01，y 的阶码是 11，按小阶码向大阶码看齐的原则，需要将 x 的阶码也转变为 11，就需要将尾数向右移动 2 位（11₂-01₂=10₂=2₁₀），即 x’=0.0011×2¹¹，但是不难看出 x 尾数右移两位，精度丢失了。

2. 尾数求和

将对阶后的两个尾数按定点加（减）运算规则进行运算。

3. 规格化

尾数 $S$ 的规格化形式为：$\frac{1}{2}\le |S|<1$

如果采用双符号位的补码，则：

• 当 $S>0$ 时，其补码规格化形式为：$[S{]}_{补}=00.1XX\cdot \cdot \cdot X$
• 当 $S<0$ 时，其补码规格化形式为：$[S{]}_{补}=11.0XX\cdot \cdot \cdot X$

可见，当尾数的最高数值位与符号位不同时，即为规格化形式，但对 $S<0$ 时，有两种情况需特殊处理：

• ① $S=-\frac{1}{2}$，虽然满足 $\frac{1}{2}\le |S|<1$，但是对于补码 $[S{]}_{补}=11.100\cdot \cdot \cdot 0$ 而言是不满足规格化判断的 （$[S{]}_{补}=11.0XX\cdot \cdot \cdot X$），特规定 $-\frac{1}{2}$ 不是规格化的数（对补码而言）
• ② $S=-1$，则 $[S{]}_{补}=11.00\cdot \cdot \cdot 0$ ，因小数补码允许表示 -1，故 -1 视为规格化的数

规格化又分为左规跟右规两种：

• （1）左规：当尾数出现 00.0XX···X 或 11.1XX···X 时，需左规。左规时尾数左移一位，阶码减 1，直到符合规格化形式为止。
• （2）右规：当尾数出现 01.XX···X 或 10.XX···X 时，表示尾数溢出，可通过右规处理，在浮点运算中这不算溢出，可通过尾数右移处理，右规时尾数右移一位，阶码加 1，直到符合规格化形式为止。

4. 舍入

在对阶和右规的过程中，可能会将尾数的低位丢失，引起误差，影响了精度。为此可用舍入法来提高尾数的精度，常用的舍入方法有两种：

• “0舍1入” 法：类似于十进制运算中的 “四舍五入” 法，即在尾数右移时被移去的最高数值位为 0，则舍去，被移去的最高数值位为 1，则在尾数的末位加 1。这样做可能使尾数又溢出，此时需再做一次右规
• “恒置 1” 法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是 “1” 或 “0”，都使右移后的尾数末位恒置 “1”，这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能

5. 溢出判断

在浮点规格化中已指出，当尾数之和（差）出现 01.XX···X 或 10.XX···X 时，并不表示溢出，只有右规后，在根据阶码来判断浮点运算结果是否溢出。

当阶码 $[j{]}_{补}=01,XX\cdot \cdot \cdot X$ 为上溢，需做溢出处理；阶码 $[j{]}_{补}=10,XX\cdot \cdot \cdot X$ 为下溢，按机器零处理。

浮点加减运算流程

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6.4.2 浮点乘除法运算

两个浮点数相乘，其乘积的阶码应为相乘两数的阶码之和，其乘积的尾数应为相乘两数的尾数之积。两个浮点数相除，商的阶码为被除数的阶码减去除数的阶码，其尾数为被除数的尾数除以除数的尾数所得的商。

设两个浮点数：$x=S_x\cdot r^{j_x}$ 、$y=S_y\cdot r^{j_y}$

乘法：$x\cdot y=(S_x\cdot S_y)\times r^{j_x+j_y}$

除法：$\frac{x}{y}=\frac{S_x}{S_y}\cdot r^{j_x-j_y}$

在运算中也要考虑规格化和舍入问题。

1. 阶码运算

若阶码用补码运算，乘积的阶码为 [j_x]_补 + [j_y]_补，商的阶码为 [j_x]_补 - [j_y]_补，两个同号的阶码相加或异号的阶码相减可能产生溢出，此时应作溢出判断。

2. 尾数运算

（1）浮点乘法尾数运算

两个浮点数的尾数相乘，可按下列步骤进行：

• ① 检测两个尾数中是否有一个为 0，若有一个为 0，乘积必为 0，不再作其他操作，如果两尾数均不为 0，则可进行乘法运算。
• ② 两个浮点数的尾数相乘可以采用定点小数的任何一种乘法运算来完成。相乘结果可能要进行左规，左规时调整阶码后如果发生阶下溢，则作机器零处理，如果发生阶上溢，则作溢出处理。此外，尾数相乘会得到一个双倍字长的结果，若限定只取 1 倍字长，则乘积的若干低位将会丢失。
  • 如何处理丢失的各位值，通常有两种方法：
    • 其一，无条件的丢掉正常尾数最低位之后的全部数值，优点是处理简单，缺点是影响精度。
    • 其二，按浮点加减运算的两种舍入原则进行舍入处理。对于原码，采用 0 舍 1 入法时，不论其值是正数还是负数，“舍” 使数的绝对值变小，“入” 使数的绝对值变大。对于补码，采用 0 舍 1 入法时，若丢失的位不是全 0，对正数来说，“舍”、“入” 的结果与原码分析正好相同；对负数来说，“舍”、“入” 的结果与原码分析正好相反，即 “舍” 使绝对值变大，“入” 使绝对值变小，为了使原码、补码舍入处理后的结果相同，对负数的补码可采用以下规则进行舍入处理。
      • ① 当丢失的各位均为 0 时，不必舍入
      • ② 当丢失的各位数的最高位为 0 时，且以下各位全部为 0；或丢失的各位数中的最高位为 1，且以下各位均为 0 时，则舍去被丢失的各位
      • 当丢失的各位数中的最高位为 1 ，且以下各位又不全为 0 时，则在保留尾数的最末位加 1 修正

（2）浮点除法尾数运算

两个浮点数的尾数相除，可按下列步骤进行：

• ① 检测被除数是否为 0，若为 0，则商为 0；再检测除数是否为 0，若为 0，则商为无穷大，另作处理。若两数均不为 0 ，则可进行除法运算。
• ② 两浮点数尾数相除同样可采取定点小数的任何一种除法运算来完成，对已规格化尾数，为了防止除法结果溢出，可先比较被除数和除数的绝对值，入宫被除数的绝对值大于除数的绝对值，则先将被除数右移一位，其阶码加 1，再作尾数相除。此时所得结果必然是规格化的定点小数。

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6.5 算术逻辑单元

针对每一种算术运算，都必须有一个相对应的基本硬件配置，其核心部件是加法器和寄存器。当需完成逻辑运算时，势必需要配置相应的逻辑电路，而 ALU 电路是既能完成算术运算又能完成逻辑运算的部件。

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6.5.1 ALU 电路

ALU 框图

图中 A_i 和 B_i 为输入变量；k_i 为控制信号，k_i 的不同取值可决定该电路作哪一种算术运算或哪一种逻辑运算；F_i 是输出函数。

如 74181 是能完成四位二进制代码的算逻运算部件

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6.5.2 快速进拉链

随着操作数位数的增加，电路中进位的速度对运算时间的影响也越大，为了提升运算速度，就有了快速进位链的存在。

所谓进位链就是传送进位的电路。

1. 并行加法器

并行加法器由若干个全加器组成，如图所示，n+1 个全加器级联就组成了一个 n+1 位的并行加法器。

由于每位全加器的进位输出是高一位全加器的进位输入，因此当全加器有进位时，这种一级一级传递进位的过程，将会大大影响运算速度。

由全加器的逻辑表达式可知：

和： $S_i=\overline{A_i}\overline{B_i}{C}_{i-1}+\overline{A_i}{B}_i\overline{C_{i-1}}+A_i\overline{B_i}\overline{C_{i-1}}+A_i{B}_i{C}_{i-1}$

进位：$C_i=\overline{A_i}{B}_i{C}_{i-1}+A_i\overline{B_i}{C}_{i-1}+A_i{B}_i\overline{C_{i-1}}+A_i{B}_i{C}_{i-1}=A_i{B}_i+(A_i+B_i)C_{i-1}$

可见，$C_i$ 进位有两部分组成：本地进位 $A_i{B}_i$ ，可记作 $d_i$，与低位无关；传递进位 $(A_i+B_i)C_{i-1}$，与低位有关，可称 $A_i+B_i$ 为传递条件，记作 $t_i$ 则：
$$C_i=d_i+t_i{C}_{i-1}$$
由 $C_i$ 的组成可以将逐级传递进位的结构，转换为以进位链的方式实现快速进位。目前进位链通常采用串行和并行两种。

2. 串行进位链

串行进位链是指并行加法器中的进位信号采用串行传递。

以 4 位全加器为例，每一位的进位表达式为：

采用与非逻辑电路可方便地实现进位传播：

设与非门的级延迟时间为 $t_y$，那么当 $d_i$、$t_i$ 形成后，共需 $8t_y$ 便可产生最高位的进位。实际上每增加一位全加器，进位时间就会增加 $2t_y$。$n$ 位全加器的最长进位时间为 $2n{t}_y$。

3. 并行进位链

并行进位链是指并行加法器中的进位信号是同时产生的，又称先行进位、跳跃进位等。

通常并行进位链有单重分组和双重分组两种实现方案。

可将上述表达式稍作变更得：

四位一组并行进位链逻辑图：

设与或非门的级延迟时间为 $1.5t_y$，与非门的级延迟时间仍为 $1t_y$，则 $d_i$、$t_i$ 形成后，只需 $2.5t_y$ 就可产生全部进位。

（1）单重分组跳跃进位

单重分组跳跃进位就是将 $n$ 位全加器分成若干小组，小组内的进位同时产生，小组与小组之间采用串行进位，这种进位又有组内并行、组间串行之称。

如果将 16 位的全加器按四位一组分组，便可得单重分组跳跃进位链框图：

当 $d_i$、$t_i$ 形成后，经过 $2.5t_y$ 可产生 $C_3$、$C_2$、$C_1$、$C_0$ 四个进位信息，经 $10t_y$ 就可产生全部进位，而 n=16 的串行进位链的全部进位时间为 $32t_y$ ，可见单重分组方案进位时间仅为串行进位链的三分之一。

但随着 $n$ 的增大，其优势便很快减弱，如当 n=64 时，按四分分组，其为 16 组，组间有 16 位串行进位，在 $d_i$、$t_i$ 形成后，还需 $40t_y$ 才能产生全部进位，显然进位时间太长。

（1）双重分组跳跃进位

双重分组跳跃进位就是将 $n$ 位全加器分成几个大组，每个大组又包含几个小组，而每个大组内所包含的各个小组的最高位进位是同时形成的，大组与大组间采用串行进位。

以 32 位并行加法器双重分组跳跃进位链的框图：

进行分析可将上述表达式进一步展开得：

双重分组跳跃进位链的大组进位线路

双重分组跳跃进位链的小组进位线路

可见，每小组可产生本小组的本地进位 $D_i$ 和传送条件 $T_i$ 以及组内的各低位进位，但不能产生组内最高进位。

两种类型的线路可构成 16 位加法器的双重分组跳跃进位链框图：

当 $d_i$、$t_i$ 及 $C_{-1}$ （外来进位）形成后开始，经过 $2.5t_y$ 形成 $C_2$、$C_1$、$C_0$ 和全部 $D_i$、$T_i$；再经 $2.5t_y$ 形成大组内的四个进位 $C_{15}$、$C_{11}$、$C_7$、$C_3$；再经过 $2.5t_y$ 形成其余进位，可见，按双重分组设计 n=16 的进位链，最长进位时间为 $7.5t_y$ ，比单重分组进位链又省了 $2.5t_y$ 。

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