InnoDB存储引擎B+树的树高推导
目录
一、基本结论：InnoDB存储引擎B+树的树高3-4层
二、存储引擎B+树结构简单分析
三、主键索引B+树推导
四、InnoDB页的内部结构推导
五、剖析InnoDB数据文件推导
六、一般思路推导计算B+树高度总结
参考文献、书籍及链接
一、基本结论：InnoDB存储引擎B+树的树高3-4层
InnoDB存储引擎的B+树的树高通常是比较小的，通常在3-4层左右。这是因为InnoDB存储引擎采用了很多优化策略来减小B+树的高度。其中包括：
- 聚簇索引：InnoDB存储引擎的聚簇索引是按照主键进行组织的，这样可以避免在非聚簇索引中再次存储主键，从而减小了B+树的高度。
- 页分裂：当B+树中的某个页面已经满了时，InnoDB存储引擎会对该页面进行分裂，以保证B+树的平衡性。
- 页合并：当B+树中某些叶子节点的空间利用率较低时，InnoDB存储引擎会将这些节点合并成一个更大的节点，以减小B+树的高度。
- 自适应哈希索引：在InnoDB存储引擎中，如果某个表的某些查询经常使用某个非聚簇索引，那么InnoDB会自动为该索引创建哈希索引，从而提高查询效率。
这些优化策略的使用可以使得InnoDB存储引擎的B+树的高度通常比较小，从而提高数据库的查询效率。
二、存储引擎B+树结构简单分析
在InnoDB存储引擎中，使用B+树结构存放和组织索引和数据，一个典型的索引组织表结构如下：
这是一个包含(id,name)字段的数据在B+树上存放的方式。
在B+树中非叶子节点上存放主键ID以及指向下一层节点的指针，而在叶子节点上，则存放真正的数据。在叶子节点之间通过双链表的方式将相邻节点连接起来。
这里的“节点”就是InnoDB中的“页Page”。“页”是InnoDB存储数据的最小单元，默认大小为16K。对“页”理解，可以延伸到其他存储模型中，例如在文件系统和磁盘上都是自己的最小存储单元，文件系统中最小存储单元是4k，而在磁盘上最小存储单元是512字节。InnoDB从磁盘中加载数据就是通过以下的数据关系进行的。
从InnoDB的“页”的大小，可以推演出的结论是：一个表不管是否存放有数据，在InnoDB中至少占用16K空间；一个表不管有多大，InnoDB中使用的空间必然是16的整数倍。
三、主键索引B+树推导
当树高=1时：这时B+树只有一个节点，即根节点，同时也是叶子节点，所有的数据就存放在这个节点中。假设单行数据大小为1k。则该节点可以存放的数据行数=节点容量/单行数据大小=16K/1K=16行数据。
当树高=2时：这样B+树有根节点和叶子节点，根节点中存在主键和指针，叶子节点中存放数据。
每个叶子节点可以存放的数据行数，按上述推算=节点容量/单行数据大小=16K/1K=16行数据。而根节点中可以存放的指针数量=节点容量 / (主键长度+指针长度)=16K/(8byte+6byte)=1170。（注：指针长度固定为6字节，这里假设主键使用bigint类型，长度为8字节）
因此一个树高为2的B+树，可以存放的数据行数=单个叶子节点存放数据行数 X 根节点指针数量=16 X 1170 = 18720。
当树高=3时：这时B+树，包括一个根节点，一个非叶子节点和一个叶子节点。
按上述推算方式得出，树高=3时，可以存放的数量行数=单个叶子节点存放数据行数 X 非叶子节点指针数量 X 根节点指针数量 = 16 X 1170 X 1170 = 21902400。
因此推演得出结论：当单行数据大小为S字节，树高为H时，一个bigint类型的主键B+树索引中可以存放的数量行数N等于：
按公式计算：当树高为4时，可以存放200百多亿行数据。这样的数据容量，可以满足绝大部分应用的需求，因此我们可以说在绝大部分应用中，B+树高度为3或4就可以满足数据存储的需求。B+树这种高扇出低树高的特征，也大大的提高了主键查询性能。
四、InnoDB页的内部结构推导
假设一个“页”的空间均用于存储用户数据，然而真实的“页”除了存储用户数据以外，还预留了空间存放一些辅助性的信息。一个完整的“页”由以下7个部分组成：
在“页”中占用空间最多是的User Records，即用于存放用户数据记录的空间。如果忽略Infimum + Supremum Records、Free Space、Page Directory使用的极少部分空间，则粗略认为用于存放数据记录的空间为：页容量 - Fil Header - Page Header - Fil Trailer = 16384 - 38 - 56 - 8 = 16282字节。按照该结果，更新公式：
通过推演计算B+树可以存放的数据行数，从侧面证明了普遍情况下B+树的树高为1-4层。
五、剖析InnoDB数据文件推导
通过以上对InnoDB页的结构解析，知道在Page Header部分存在了一个Page Level的字段，该字段表示当前页在整个索引树中的位置。
- 如果当前页位于树的叶子节点，则Page Level=0
- 如果当前页位于叶子节点的上一层，则Page Level=1
- 以此类推，假如一棵树有3层，那么：叶子节点Page Level=0，非叶节点Page Level=1，根节点Page Level=2
- 如果通过Page Level反推树高的话，可以看出树高=根节点的Page Level+1
因此如果可以在InnoDB数据文件中找到主键索引中根节点的Page Level值，就可以推算出主键索引树的树高。
找出主键索引在InnoDB数据文件中的页码
解析InnoDB数据文件中的主键索引根节点，需要先找到主键索引在数据文件中的位置。在MySQL内置的information_schema.INNODB_SYS_INDEXES、information_schema.INNODB_SYS_TABLES中包含主键索引所在的页码的信息。
SELECT
b.name as tableName, a.name as indexName, index_id, type, a.space, a.PAGE_NO
FROM
information_schema.INNODB_SYS_INDEXES a,
information_schema.INNODB_SYS_TABLES b
WHERE
a.table_id = b.table_id AND a.space <> 0 and b.name ='dbt3/lineitem' and a.name='PRIMARY';通过该SQL查询到的lineitem表主键索引，页码为3。事实上在InnoDB中所有表的主键索引所在的页码都是3，这点可以通过查询其他表证实。
计算Page Level在数据文件中的位置
每页的大小(16K)，可以在数据文件中定位主键索引所在页的位置。从而进一步找到Page Level字段在数据文件中的位置。
根据InnoDB页的结构特征，可以看到Fil Header部分占用了前38个字节，而Page Level字段在Page Header部分的26字节偏移量位置，并占用2个字节。因此可得出，Page Level字段在整个页中的位置是64字节偏移量的位置。
如果想解析数据文件(lineitem.idb文件)中的Page Level字段，需要跳过的偏移量=3 * 16384(16K) + 38+ 26 = 49152+64=49216 。Page Level的值，就在该偏移量的后续2个字节中。可以看出解析出lineitem.idb文件的Page Level=2，即树高=Page Level+1=3层。
六、一般思路推导计算B+树高度总结
当我们在InnoDB存储引擎中使用B+树时，通常可以通过以下推导来计算B+树的高度：
- 首先，我们需要知道B+树的节点大小以及每个节点可以容纳的索引项数量，这可以通过InnoDB存储引擎的页面大小、节点头大小和索引项大小等参数来确定。
- 接着，我们可以根据B+树的定义来计算出根节点、中间节点和叶子节点的最小索引项数量。通常情况下，根节点和中间节点最少有两个子节点，而叶子节点的索引项数量通常是最多的。
- 然后，我们可以根据B+树的结构和定义来计算出根节点、中间节点和叶子节点的最大容纳索引项数量。对于中间节点和叶子节点，这个数量取决于节点大小和每个索引项的大小。
- 最后，我们可以使用B+树的定义和最小/最大索引项数量来计算出B+树的高度。在InnoDB存储引擎中，通常会尽量使B+树的高度趋近于最小值，以提高查询性能和减少磁盘IO开销。
需要注意的是，这只是计算B+树的高度的一种方法，不同的存储引擎和数据库可能会采用不同的优化策略，因此计算结果可能会有所不同。同时，B+树的高度也不是唯一影响查询性能的因素，还需要考虑索引选择性、数据分布情况等因素。
参考文献、书籍及链接
1.《MySQL技术内幕：InnoDB存储引擎》（第2版）：MySQL技术内幕 (豆瓣)
2.《Inside InnoDB: The InnoDB Storage Engine》：MySQL :: MySQL 8.0 Reference Manual :: 15 The InnoDB Storage Engine
3.《InnoDB: The Ultimate Guide》：https://www.percona.com/blog/2018/06/05/innodb-the-ultimate-guide/
4.《InnoDB Storage Engine Internals》：https://mariadb.com/kb/en/innodb-storage-engine-internals/
5.InnoDB的数据页结构