数论与几何的未来

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Peter Scholze工作的领域我们称其为算术几何，这是一个用几何方法研究数论问题的领域。数字1、2、3、4............作为数学最基本的对象早已渗透进每个人的生活，但却并非每个人都意识到其背后隐藏着神秘的宝藏。数字背后那精致无比的结构，在我看来其壮丽不亚于宇宙中最恢宏的景象，而其部分展现出的与物理最深刻的相似性，那种联接两个截然不同的世界的神秘纽带，刺激着人类想象力的极限。

算术几何作为一个分支旨在探索数字背后隐藏的几何结构，进而理解几何与数字本身。19世纪的学者们已经注意到数字与几何之间的非凡联系，他们梦想能找到统一两者的方法。这一梦想在20世纪中叶逐步成为现实，奠基于德国哥廷根学派发展的代数，以及意大利学派发展的几何，André Weil（安德烈·韦伊）、Oscar Zariski（奥斯卡·扎里斯基）以及后来的Alexander Grothendieck（亚历山大·格罗滕迪克，详见：《云端的背影——格罗滕迪克的故事》）建立了现代代数几何的基础，其将许多算术问题包含进了几何的框架，为我们提供了新的强大的洞察力。

一个人们很早就意识到的联系源于整数和一元多项式，它们具有非常相似的性质，比如它们都能做质数分解。一元多项式有很明显的几何解释，它是一条曲线（代数维度为1，如果我们试图画出它的图形，则其为维数2的曲面，因为复数的维数是2）。这让我们猜测整数应当在某种意义上是一条曲线，Grothendieck的几何框架给出了这样一种解释，这条曲线上的每一点对应于一个素数。这一解释在很多方面很成功，结合Grothendieck发展的代数几何及代数拓扑工具，它给出了强有力的新方法去处理算术上的问题。

然而，一些基本的问题在Grothendieck的框架里仍然得不到解决。一个非常根本的问题在于曲线上每一点都是相似的，它们都起源于同一种代数对象（曲线定义其中的域），而整数上不同的点，即不同的素数却并不相同。换句话说，不同素数应该起源于同一种结构，有时我们称其为“一个元素的域”，然而这一对象却并不能被满意地构造。