将 1/2024 拆分为 2023 个不同的埃及分数之和

就埃及分数拆分而言，通常拆分的数量越多，拆分方案也越多。 1/2024 拆分为三个埃及分数的方案就有 14318 个。本题的拆分方案数是天文数量级的。

分析：

我们只需要找到一组特解，最好是有规律、易实现的方法。
2024 = 2*1012，1/2024 = 1/1012 * 1/2，可以从 1/2 拆分为两个埃及分数来着手；

1/2 = 1/3+1/6， 这是一个很有用的递推关系式，即：
1/k * (1/2) = 1/k * (1/3) + 1/k * (1/6)，

并且，每一次拆分后的第二项以同样规则继续拆分：
1/(3k) * (1/2) = 1/(3k) * (1/3) + 1/(3k) * (1/6)，

如此，一直拆分到第 2022 次，即得到 2023个不同的埃及分数。

拆分的结果为：

1/2024
= 1 / ( 3 * 1012 ) + 1 / ( 6 * 1012 )
= 1 / ( 3¹ * 1012 ) + 1 / ( 3² * 1012 ) + 1 / ( 3² * 2 * 1012 )
= 1 / ( 3¹ * 1012 ) + 1 / ( 3² * 1012 ) + 1 / ( 3³ * 1012 ) + … + 1 / ( 3²⁰²² * 1012 ) + 1 / ( 3²⁰²² * 2 * 1012 )

简化为公式表达：

1/2024 = sum [ 1 / ( 3ⁿ * 1012 ) ] + 1 / ( 3²⁰²² * 2 * 1012 ) ；n = [ 1，2022 ] 。
最后一个埃及分数的分母是一个 969 位的大整数。

画蛇添足一下：

写了一段 Fortran 代码，用分数形式进行了验算。附源代码：

$freeform

! 计算 a/b = sum[1/(3^n*1012)]+1/(3^2022*2*1012)；n=[1,2022] 
! [email protected]

include 'int1k.for'                              ! 大整数模块
use big_integers_module
type(big_integer) a,b,c                          ! a/b 分数累加值，c 第i个分数的分母

c=1012
a=0
b=c

do i=1,2022                                      ! 累加前2022项

   c=c*3                                         ! 第i个分数的分母

   a=a*3+1                                       ! 通分并累加分数 a/b
   b=b*3

end do

c=c*2                                            ! 计算并累加第2023个分数
a=a*2+1
b=b*2

do i=1,2024,2                                    ! 对a/b进行约简

   ii=i
   if(ii.eq.1) ii=2

   do while(modulo(a,ii)+modulo(b,ii).eq.0)
      a=a/ii
	b=b/ii
   end do

end do                                           ! 输出计算结果

write(*,'(/a)')  '计算 a/b = sum[1/(3^n*1012)]+1/(3^2022*2*1012)；n=[1,2022]'
write(*,'(/4a)') 'a/b = ',trim(char(a)),'/',trim(char(b))

write(*,'(a)') trim(char(c))
write(*,*) len_trim(char(c)) 

end

结果输出：

计算 a/b = sum[1/(3^n*1012)]+1/(3^2022*2*1012)；n=[1,2022]

a/b = 1/2024