代码随想录算法训练营第43天|完全背包 、518. 零钱兑换 II、377. 组合总和 Ⅳ

完全背包

学习链接：完全背包

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
在完全背包中，对于一维dp数组来说，两个for循环嵌套顺序是无所谓的
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了
遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

而01背包的一维数组是从后向前遍历的，如果先遍历背包再遍历物品的话之前的dp[j]还是初始值没有经过计算

对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！
但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

518. 零钱兑换 II

题目链接：518. 零钱兑换 II
文章讲解：代码随想录|518. 零钱兑换 II

思路

1.dp[j] :凑成总金额j的货币组合数
2.dp[j] += dp[j - coins[i]]; 就是所有dp[j - coins[i]]相加，代表此时有金币0~i时能凑成j的组合数
当coins[0]加入遍历时，d[j]表示有coins[0]时的组合数
当coins[1]加入遍历时，d[j]表示只有coins[0]和组合数+包含coins[1]时的组合数
当coins[2]加入遍历时，d[j]表示包含coins[0]和coins[1]时的组合数 + 包含coins[2]时的组合数
3.dp[0] = 1是 递归公式的基础
4.如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品
本题为求组合

代码

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

题目链接：377. 组合总和 Ⅳ
文章讲解：代码随想录|377. 组合总和 Ⅳ

思路

本题是求排列
1.dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数
2.dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。dp[i] += dp[i - nums[j]];
3.dp[0] = 1 没有意义，仅仅是为了推导递推公式。
4.如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
5.

代码

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};