C++ 图 的延展 二叉树（四十）【第六篇】

记得上次讲：

那今天我们呢就来深入地讲一下二叉树，二叉树还有很多的细节我们未讲过。

1.二叉树的储存

二叉树的存储

我们前面学会了二叉树，下面我们来看看二叉树的存储是怎样进行的吧！

从二叉树的结构来看，除根结点以外的所有结点都跟 上一层 结点有直接相连的关系。

二叉树的存储

表示结点信息的结构体：

struct node {    char value;  //记录结点上的值，数据类型可做更改    node *lchild, *rchild; //记录每个结点指向下一层的左右两个孩子结点（指针类型）};

如下图中的黄色标记的结点：

黄色圆圈部分表示结点上的值；

两条带箭头的边表示结构体内指针指向的下一层结点位置。

想一想： 如何连接二叉树上的所有结点呢？

现阶段我们只需要掌握基本的二叉树结点表示即可，关于二叉树的更多细节操作比较复杂，后面的阶段我们会再讲。

二叉树的存储

用结构体进行二叉树的存储比较麻烦的话，还有什么方法能方便存储一棵二叉树呢？

二叉树的 结点个数 和 层数 之间还有一种特殊的关系：

• 每一层结点个数 最多 是上一层的结点个数的 两倍。

上图中，

除最下面一层以外，每个父亲结点都有 2 个孩子结点。

每一层的结点个数都是上一层的 两倍。

这样的二叉树叫做 满二叉树。

满二叉树的存储

若对含 
n 个结点的满二叉树从上到下且从左至右进行 
1 至 n 的编号，则对满二叉树中任意一个编号为 
i 的结点有如下特性：

1. 若 
   i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为 i/2 的结点为其双亲结点。

2. 编号为 
   2×i 的结点是编号为 
   i 的左孩子结点。

3. 编号为 
   2×i+1 的结点是编号为 
   i 的右孩子结点。

这样的编号关系，用 数组 模拟存储的话会不会更方便？

二叉树的存储

下面我们通过两个例子来看一下，二叉树在数组中是怎样存放的，其中根结点储存在 1 号位置。

上图为一棵满二叉树，它的存储为：

二叉树的存储

那么对于不是满二叉树的情况：

上图中是一棵正常的二叉树，他的存储为：

其中: ^ 代表空（NULL）。

2.二叉树的遍历

二叉树的遍历

我们前面学会了二叉树的存储，下面我们来看看二叉树如何访问到每个结点的吧！

二叉树访问每个结点一定需要按照某种 顺序 逐一访问。

二叉树常考的遍历方式有三种：

前序遍历

中序遍历

后序遍历

二叉树的前序遍历

前序遍历的 访问顺序：

1. 根结点

2. 左子树

3. 右子树

前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点去进行遍历，当第一次到达某个结点 x 时：

1. 访问该结点（可以输出一些结点相关的信息）。

2. 访问 �x 的左儿子，并且继续向下递归访问，如果没有则直接进行下一步。

3. 访问 �x 的右儿子，并且继续向下递归访问，如果没有则直接进行下一步。

4. 返回到父亲处，如果 �x 是根，那么遍历结束。

上图为一棵满二叉树，它的前序遍历过程为：

1. 从根结点出发，第一次遇到 A，输出 A。

2. 然后向左访问，访问 
   A 的左儿子，遇到 
   B，输出 
   B。

3. 继续向左访问，访问 B 的左儿子，遇到 
   D，输出 
   D。

4. 此时 
   D 为叶子结点，返回到 
   B，这是第二次访问 
   B，所以不再输出 
   B。

5. 继而访问 B 的右儿子，遇到 E，输出 E。

6. 此时 E 为叶子结点，返回到 
   B，这是第三次访问 
   B，所以不再输出 
   B。

7. 退回到 
   A，以同样的方式访问 
   C、F、G。

最终输出：ABDECFG

二叉树的中序遍历

中序遍历访问顺序：

1. 左子树

2. 根结点

3. 右子树

中序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达某个结点 
� 时：

1. 访问 x 的左儿子，并且继续向下递归访问，如果没有则直接进行下一步。

2. 访问该结点（可以输出一些结点相关的信息）。

3. 访问 � 的右儿子，并且继续向下递归访问，如果没有则直接进行下一步。

4. 返回到父亲处，如果 � 是根，那么遍历结束。

上图中满二叉树的中序遍历最终输出为：DBEAFCG

二叉树的后序遍历

后序遍历访问顺序：

1. 左子树

2. 右子树

3. 根结点

后序遍历可以类比前面的遍历过程来进行。

最终后序遍历输出为：DEBFGCA