算法42：天际线问题（力扣218题）---线段树
218. 天际线问题
城市的 天际线 是从远处观看该城市中所有建筑物形成的轮廓的外部轮廓。给你所有建筑物的位置和高度，请返回 由这些建筑物形成的 天际线 。
每个建筑物的几何信息由数组 buildings 表示，其中三元组 buildings[i] = [lefti, righti, heighti] 表示：
lefti是第i座建筑物左边缘的x坐标。righti是第i座建筑物右边缘的x坐标。heighti是第i座建筑物的高度。
你可以假设所有的建筑都是完美的长方形，在高度为 0 的绝对平坦的表面上。
天际线 应该表示为由 “关键点” 组成的列表，格式 [[x1,y1],[x2,y2],...] ，并按 x 坐标 进行 排序 。关键点是水平线段的左端点。列表中最后一个点是最右侧建筑物的终点，y 坐标始终为 0 ，仅用于标记天际线的终点。此外，任何两个相邻建筑物之间的地面都应被视为天际线轮廓的一部分。
注意：输出天际线中不得有连续的相同高度的水平线。例如 [...[2 3], [4 5], [7 5], [11 5], [12 7]...] 是不正确的答案；三条高度为 5 的线应该在最终输出中合并为一个：[...[2 3], [4 5], [12 7], ...]
示例 1：
输入：buildings = [[2,9,10],[3,7,15],[5,12,12],[15,20,10],[19,24,8]] 输出：[[2,10],[3,15],[7,12],[12,0],[15,10],[20,8],[24,0]] 解释： 图 A 显示输入的所有建筑物的位置和高度， 图 B 显示由这些建筑物形成的天际线。图 B 中的红点表示输出列表中的关键点。
示例 2：
输入：buildings = [[0,2,3],[2,5,3]] 输出：[[0,3],[5,0]]
分析：
这一题看起来很复杂，其实掌握了算法40和算法41的知识点以后，分析起来还是很容易的。
1. 首先，我们观察图片发现，天际线搜集的就是每个建筑物的开始坐标和结束坐标。开始坐标就是建筑物的高度。而结束坐标默认搜集高度为0.
2. 如果有第二个建筑物和第一个建筑物有部分重叠，那么第二个建筑物比第一个建筑物高的话，就搜集第二个建筑物开始位置的横坐标和高度；
如果第二个建筑物比第一个建筑物更宽，说明第二个建筑物把第一个建筑物个住当住了，第二个建筑物比第一个建筑物又高又宽，那么直接放弃第一个建筑物搜集的结束点的横坐标和高度信息；搜集第二个建筑物的坐标和高度替换第一个建筑物的结束点信息。当然，第二个建筑物的结束点高度为0.
3. 建筑物给的顺序，是X轴排好序的。因此，每添加一个建筑物，就搜集一下开始点。结束点是需要判断的；
4. 利用线段树的知识点，首先对X轴坐标进行搜集并确认区间；其次，每一个建筑物都有区间，区间的结束点都默认为0；0代表不更新，如果当前区间被之前的建筑物占领了位置，还保留之前的建筑物坐标信息。
5. 以本题第一个案例来分析，首先搜集X轴坐标并划分区间信息：
有了以上信息，我们接下来就是逐步推导的过程了：
由于天际点搜集的是每个区间的开始位置和结束位置；因此，存在连续、重复的信息应该忽略掉后一个重复值。最终搜集的是：
参照上图，根据区间获取X轴坐标值：
1 区间的 10 1区间对应X轴的2， 因此最终是 [2, 10]
2 区间的 15 2区间对应X轴的3， 因此最终是 [3, 15]
4 区间的 12 4区间对应X轴的7， 因此最终是 [7, 12]
6 区间的 0 6区间对应X轴的12， 因此最终是 [12, 0]
7 区间的 10 7区间对应X轴的15， 因此最终是 [15, 10]
9 区间的 8 9区间对应X轴的20， 因此最终是 [20, 8]
10 区间的 0 10区间对应X轴的24， 因此最终是 [24, 0]
最终结果就是 [[2, 10], [3, 15], [7, 12], [12, 0], [15, 10], [20, 8], [24, 0]]
代码实现：
package code04.线段树_02;
import java.util.*;
//力扣 216，天际线问题 https://leetcode.cn/problems/the-skyline-problem/
public class Code03_SkyLine_2 {
class SegmentTree {
int[] lines;
SegmentTree(int size){
lines = new int[size * 4];
}
//不使用懒更新
public void add(int left,
int right,
int curIndex,
int start,
int end,
int value)
{
//叶子节点
if (left == right) {
if (left != end) {
lines[curIndex] = value > lines[curIndex] ? value : lines[curIndex];
}
return;
}
int mid = (left + right)/2;
if (start <= mid) {
add(left, mid, curIndex * 2, start, end, value);
}
if (end > mid) {
add(mid + 1, right, curIndex * 2 + 1, start, end, value);
}
}
public void query(int left,
int right,
int curIndex,
Map map,
List> list)
{
//叶子节点
if (left == right) {
/**
* 1. 为空直接放入
* 2. 不为空，需要判断list最后一个元素
* 即最后一个元素的下标为1的位置的值，是否与innerList
* 下标为1的值相等。相等则排除，否则加入
*/
if (list.isEmpty()
|| (!list.isEmpty()
&& list.get(list.size() - 1) != null
&& list.get(list.size() - 1).get(1) != lines[curIndex])) {
List innerList = new ArrayList<>();
//横坐标
innerList.add((Integer) map.get(left));
//纵坐标
innerList.add( lines[curIndex]);
list.add(innerList);
}
return;
}
int mid = (left + right)/2;
query(left, mid, curIndex * 2, map, list);
query(mid + 1, right, curIndex * 2 + 1, map, list);
}
}
//根据x轴，按照从左到右、从大到小的顺序编制区间下标
public HashMap index(int[][] positions)
{
TreeSet pos = new TreeSet<>();
//离散化过程,统计开始、结束区间的坐标。
//不管数组长度为多少，最终都是落在这些区间中的
for (int[] arr : positions) {
pos.add(arr[0]);
pos.add(arr[1]);
}
int index = 1;
HashMap map = new HashMap<>();
//给每个下标编个index，从1开始; 模拟原始线段树的原始数组中给每个元素添加下标的逻辑
for (Integer key : pos) {
map.put(key, index++);
}
return map;
}
//根据区间下标找对应的x轴坐标值
public HashMap reverseKeyValue (HashMap map)
{
HashMap reverseMap = new HashMap();
for (Iterator iterator = map.keySet().iterator(); iterator.hasNext();) {
int key = (int) iterator.next();
int value = map.get(key);
reverseMap.put(value, key);
}
return reverseMap;
}
public List> getSkyline(int[][] buildings) {
//获取到了X轴上对应的下标
HashMap map = index(buildings);
int size = map.size();
SegmentTree tree = new SegmentTree(size);
//原始数组的范围
int left = 1;
int curIndex = 1;
int right = size;
for (int[] arr : buildings) {
//任务的范围
int start = map.get(arr[0]);
int end = map.get(arr[1]);
int value = arr[2];
tree.add(left, right, curIndex, start, end, value);
}
List> list = new ArrayList<>();
HashMap reverseMap = reverseKeyValue(map);
tree.query(left, right, curIndex, reverseMap, list);
return list;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] buildings = {{2,9,10},{3,7,15},{5,12,12},{15,20,10},{19,24,8}};
Code03_SkyLine_2 ss = new Code03_SkyLine_2();
System.out.println(ss.getSkyline(buildings));
}
}
力扣测试结果：
一顿操作猛如虎，结果只打败了 5%，说明代码不够优秀，还需要优化。
优化：
目测我刚刚分析的图片
1、区间的最后一个高度根本就不做考虑，也就是说线段树更新 1 - N，实际上关注的就是 1 到 （N-1）的范围； 这样的话，add方法内部的
if (left == right) {
if (left != end) {
lines[curIndex] = value > lines[curIndex] ? value : lines[curIndex];
}
return;
}
就可以直接去掉 if (left != end) 逻辑判断了。
2. 我们每添加一个建筑物，就递归到子节点。虽然线段树的时间复杂度为O(logN). 但是，执行1次和执行10次这样的时间复杂度方法，时间还是不一样的。因此，需要对目前的add方法进行优化，线段树的懒更新必须加进去
优化代码：
package code04.线段树_02;
import java.util.*;
//力扣 216，天际线问题 https://leetcode.cn/problems/the-skyline-problem/
public class Code03_SkyLine_2_opt {
class SegmentTree {
int[] lazy;
SegmentTree(int size){
lazy = new int[size * 4];
}
//不使用懒更新
public void add(int left,
int right,
int curIndex,
int start,
int end,
int value)
{
if (start <= left && right <= end) {
lazy[curIndex] = value > lazy[curIndex] ? value : lazy[curIndex];
return;
}
int mid = (left + right)/2;
pushDown(curIndex);
if (start <= mid) {
add(left, mid, curIndex * 2, start, end, value);
}
if (end > mid) {
add(mid + 1, right, curIndex * 2 + 1, start, end, value);
}
}
public void pushDown (int curIndex)
{
if (lazy[curIndex] != 0) {
lazy[curIndex*2] = lazy[curIndex] > lazy[curIndex * 2] ? lazy[curIndex] : lazy[curIndex * 2] ;
lazy[curIndex*2+1] = lazy[curIndex] > lazy[curIndex * 2 + 1] ? lazy[curIndex] : lazy[curIndex * 2 + 1] ;
lazy[curIndex] = 0;
}
}
public void query(int left,
int right,
int curIndex,
Map map,
List> list)
{
//叶子节点
if (left == right) {
if (list.isEmpty()
|| (!list.isEmpty()
&& list.get(list.size() - 1) != null
&& list.get(list.size() - 1).get(1) != lazy[curIndex])) {
List innerList = new ArrayList<>();
//横坐标
innerList.add((Integer) map.get(left));
//纵坐标
innerList.add(lazy[curIndex]);
list.add(innerList);
}
return;
}
int mid = (left + right)/2;
pushDown(curIndex);
query(left, mid, curIndex * 2, map, list);
query(mid + 1, right, curIndex * 2 + 1, map, list);
}
}
//根据x轴，按照从左到右、从大到小的顺序编制区间下标
public HashMap index(int[][] positions)
{
TreeSet pos = new TreeSet<>();
//离散化过程,统计开始、结束区间的坐标。
//不管数组长度为多少，最终都是落在这些区间中的
for (int[] arr : positions) {
pos.add(arr[0]);
pos.add(arr[1]);
}
int index = 1;
HashMap map = new HashMap<>();
//给每个下标编个index，从1开始; 模拟原始线段树的原始数组中给每个元素添加下标的逻辑
for (Integer key : pos) {
map.put(key, index++);
}
return map;
}
//根据区间下标找对应的x轴坐标值
public HashMap reverseKeyValue (HashMap map)
{
HashMap reverseMap = new HashMap();
for (Iterator iterator = map.keySet().iterator(); iterator.hasNext();) {
int key = (int) iterator.next();
int value = map.get(key);
reverseMap.put(value, key);
}
return reverseMap;
}
public List> getSkyline(int[][] buildings) {
//获取到了X轴上对应的下标
HashMap map = index(buildings);
int size = map.size();
SegmentTree tree = new SegmentTree(size);
//原始数组的范围
int left = 1;
int curIndex = 1;
int right = size;
for (int[] arr : buildings) {
//任务的范围
int start = map.get(arr[0]);
int end = map.get(arr[1]);
int value = arr[2];
//天际线的区间最后一个x坐标的高度信息根本不做考虑，默认就是0.
// 因此，start - end的区间，实际考虑的知识 start - (end-1)的范围
tree.add(left, right, curIndex, start, end - 1, value);
}
List> list = new ArrayList<>();
HashMap reverseMap = reverseKeyValue(map);
tree.query(left, right, curIndex, reverseMap, list);
return list;
}
public static void main(String[] args) {
//int[][] buildings = {{2,9,10},{3,7,15},{5,12,12},{15,20,10},{19,24,8}};
//int[][] buildings = {{0,2,3},{2,5,3}};
int[][] buildings = {{2,13,10},{10,17,25},{12,20,14}};
Code03_SkyLine_2_opt ss = new Code03_SkyLine_2_opt();
System.out.println(ss.getSkyline(buildings));
}
}
测试结果：打败76%
分析这个问题并且实现第一版代码只花了半天时间，但是优化出第二版代码却花了一整天。
不管是什么算法和数据结构，光掌握原理是远远不够的。熟能生巧，多练、多思考，才能快速写出优秀的代码，这是不可缺少的流程。共勉之！