数与抽象之负数和分数

负数和分数

“探索减法和除法:从具体操作到方程求解的数学思维”

谁如果给小孩子教过数学,那一定会知道,减法和除法并不像加法和乘法那样直接,他们学习起来更困难一些。为了解释减法,我们当然可以利用“拿走”的概念,提这一类的问题:“一开始有5个橘子,吃掉2个,还剩下几个?”然而这并不总是思考减法的最佳方式。例如,当我们用100减98时,更好的想法不是从100中取走98,而是考虑什么数加上98能够得到100。也就是说,更有效的做法是求解方程98+ x x x=100,尽管计算时字母 x x x并不常出现在我们的脑子里。类似地,考虑除法也有两种方式。为了解释50 除以10的意义,我们既可以问“50个东西分成相等的10组,每组几个”,也可以问“10个东西分一组,50个东西能分几组”。第二种办法等于在问“10和几相乘能够得到50”,也就等于解方程10 x x x=50。

“挑战与抽象:解释减法和除法中的负数和分数概念”

向小孩解释减法和除法还有着更进一步的困难,那就是这两种计算并非总能够进行。例如,不可能从装有7个橘子的碗中拿走10个,11颗弹珠不可能平均分给3个小孩。但成人却能够计算7减去10和11除以3,分别得到-3和11/3。问题随之而来:一3和11/3这样的数实际上存在吗?如果存在它们又是什么呢?

“抽象数系的拓展:解释负数和分数作为数学运算的工具”

从抽象的角度看,处理这个问题的方式类似于之前对于零的处理方式:全都抛至脑后。关于-3,我们只需要知道它和3相加等于0即可;关于11/3,只需知道它乘以3等于11即可。这就是它们的运算规则。再与之前的规则相结合,我们就可以在更大的数系中进行算术运算。为什么我们希望照这样扩充数系呢?原因就是,这样得到的模型允许我们在其中求解x+a=b和 a x ax ax=b 这样的方程,无论a和b取何值——只要a在第二个方程中不为0。换句话说,这样得到的模型中,减法和除法总是能够进行的,只要除数不为0。(除数0的问题我们会在文章后面谈到。)

“拓展数系的规则:引入负数和分数的逆元与消去法则”

按照这样的路数,我们只需再增加两条规则来扩充我们的数系:一条给我们带来负数,另一条给我们带来分数,即我们所熟知的有理数
A4 加法逆元:对任意数a,总存在一个数b使得a+b=0。
M4 乘法逆元:对任意不为0的数a,总存在一个数c使得ac=1。
确定了这些规则后,我们就可以将 -a和1/a分别看作A4中的b、M4中的c的代号。至于更一般的表达式p/q,它表示p乘以1/q。
规则A4M4还蕴含了另外两条规则,即消去法则。
A5 加法消去律:对任意三个数a、b和c,若a+b=a+c,则b=c。
M5 乘法消去律:对任意三个数a、b和c,若ab=ac且a不为0,则b=c。

“使用新规则证明分数加法的合理性:寻找公分母和对分子的运算”

第一条可以通过在等式两端加上-a得到证明,第二条可以通过在等式两端乘以1/a得到证明。应当注意A5M5的地位与之前的那些规则是不同的一一这两条是之前规则的推论,而不是我们向游戏中引入的新规则。
如果有人要加两个分数,如2/5加3/7,那么常用的方法是找出它们的公分母:
2 5 + 3 7 = 14 35 + 15 35 = 29 35 \frac{2}{5}+\frac{3}{7}=\frac{14}{35}+\frac{15}{35}=\frac{29}{35} 52+73=3514+3515=3529
这种方法及类似方法的合理性可以用我们的新规则来证明。
例如:
35 ∗ 14 35 = 35 ∗ { 14 ∗ 35 } ∗ 1 35 35*\frac{14}{35}=35*\{14*35\}*\frac{1}{35} 353514=35{1435}351 = 14 ∗ { 35 ∗ 1 35 } = 14 ∗ 1 = 14 =14*\{35*\frac{1}{35}\}=14*1=14 =14{35351}=141=14
又有
35 ∗ 2 5 = ( 5 ∗ 7 ) ∗ ( 2 ∗ 1 5 ) = ( 7 ∗ 5 ) ∗ { 1 5 ∗ 2 } 35*\frac{2}{5}=(5*7)*(2*\frac{1}{5})=(7*5)*\{\frac{1}{5}*2\} 3552=(57)(251)=(75){512} = { 7 ∗ { 5 ∗ 1 5 } } ∗ 2 = ( 7 ∗ 1 ) ∗ 2 = 7 ∗ 2 = 14 =\{7*\{5*\frac{1}{5}\}\}*2=(7*1)*2=7*2=14 ={7{551}}2=(71)2=72=14
于是,由规则M5得到2/5和14/35是相等的,正如我们在计算中所假设的那样。
类似地,我们还可以论证关于负数的一些熟悉的事实。请大家自己练习从上述规则中推出 ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) = 1 (-1)*(-1)=1 (1)(1)=1,它的推导和对 0 ∗ 0 = 0 0*0=0 00=0的证明相当类似。

“负数的实在性与数学模型的应用范围:解析人们对负数认知的差异”

为什么在很多人看来,负数的实在性要低于正数呢?大概因为对数量不多的物体的计数是人类的基本活动,在这其中并不会用到负数。但这只不过意味着,作模型的自然数系在某种特定场合下比较有用,而扩充数系则不太用得上。但如果我们考虑温度、日期或者银行账户,那负数就的确能够发挥作用了。只要扩充数系是逻辑自洽的——实际上也正是如此,用它作为模型就没有任何害处。
把自然数系称作一种模型似乎有点奇怪。难道我们不是在切实地数数,未涉及任何特定的理想化描述吗?我们的确是那样数数的,但数数的过程并非总是恰当的,甚至会根本不可能。从数学的观点来看,1 394 840 275 936 498 649 234 987这个数没有任何问题,但如果我们连佛罗里达州的选票都数不过来,就无法想象能确信自己拥有由1 394 840 275 936 498 649 234 987个东西组成的一堆。如果你将两堆落叶加到第三堆上,得到的结果并不是三堆树叶,而是一大堆树叶。倘若你刚观察过一场暴雨,那正如维特根斯坦所说,“‘你看到了多少水滴’这个问题的恰当答案是,很多。并不是因为没有那么一个数字,而是因为你根本不知道有多少”。

总结

在数学中,减法和除法相对于加法和乘法更具挑战性。然而,通过引入抽象的数学模型,我们可以更好地理解和解释减法和除法的概念。减法可以通过解方程的方式来理解,即找出与给定数相加得到零的数。类似地,除法可以通过解方程的方式来理解,即找出与给定数相乘得到另一个给定数的数。然而,向孩子们解释减法和除法的困难之一是它们并不总是可行的操作,例如从较小的数中减去较大的数,或将一定数量的物品平均分给不等数量的人。为了解决这个问题,我们引入了负数和分数这两个概念,将它们视为数学运算的工具。负数和分数的引入扩展了数系,并引入了新的规则,如加法逆元和乘法逆元。通过这些规则和之前的规则的结合,我们可以在更大的数系中进行算术运算,并解决各种方程。负数和分数的实在性可能在人们的认知中低于正数,这是因为负数在日常生活中的计数活动中并不常见。然而,在涉及温度、日期、银行账户等方面,负数和分数是非常有用的。只要扩充数系是逻辑自洽的,将自然数系视为一种模型就是合理的,因为在实际的计数过程中,并不总是准确的或可能的。因此,扩充数系作为数学模型没有任何害处,反而可以提供更广泛的应用和解决更复杂的问题的能力。

你可能感兴趣的:(算法,线性代数,矩阵,数学,负数和分数,抽象)