立体几何之目：2012年文数题19~三棱柱

2012年文数全国卷题19

（19）（本小题满分 12 分）

如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， 是棱 的中点.

（I）证明∶平面 平面 ;

（Ⅱ）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2012年文科数学全国卷

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【分析】

先观察一下模型的特点。

由题设条件可知： 三者间存在两两垂直的关系。

棱柱的上下两个底面是等腰直角三角形：.

棱柱的侧面是三个矩形。其中有两个矩形的长宽比为 . 这样的矩形可以拆成两个正方形。这两个矩形就是： .

掌握了以上特征，再来解答问题，就不困难了。

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【解答第1问】

∵ 面 , ∴ .

∵

∴ 面 , ∴

∵ 侧棱垂直底面，∴ 是矩形，

又∵ , 是棱 的中点, ∴ 是等腰直角三角形.

∴ .

∵ ,

∴ 面 .

而 面 , ∴ 面 面 .

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【解答第2问】

由题设条件和第1问结论可知： 面 , ,

令 , 则 ,

.

四棱锥体积

棱柱体积

这两部分体积的比

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【提炼与提高】

本题第1问用了一个常见的套路，可简要概括如下：由「线面垂直」推出「线线垂直」；由「线线垂直」推出新的「线面垂直」；再由「线面垂直」推出「面面垂直」。这种转化策略是立体几何的基本套路，经常使用。

对初学者来说，本题第2问会有一些难度。主要的障碍在于：平面 是一个不太规则的面，它既不水平的也不是竖直的，而且还被棱柱的三个侧面档住了。这样的平面，对于解题人的空间想象力是一种挑战。所以，成功地解答本题后，空间想象力也会得到锻炼和提高。

在平面几何中，三角形是基本的、核心的研究对象。把多边形拆分为多个三角形，是基本的策略。在立体几何中四面体是基本的、核心的对象。把多面体拆分为四面体，是立体几何的基本策略。本题即体现了这一策略。

概括一下本题中的要点：

• 如何证明两平面垂直？

• 如何计算多面体的体积？

• 常用对象「鳖臑」 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。本题中的 就是一个鳖臑。 三直线间是两两垂直的关系。

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