代数几何（四+）

克莱布什也把黎曼关于黎曼曲面上阿贝尔积分（即形如∫g(x,y)dx的积分，其中g是有理函数且f(x,y)=0）的概念用到曲线上。 为了说明第一类积分，考虑一个无重点四次平面曲线C4。这里p=3且有三个处处有限积分：
适用于C4的也适用于n次任意代数曲线f(x,y)=0，p个积分代替三个处处有限积分（其中p是f=0的亏格），每个积分有2p个周期模数（见单复变函数），积分具有形式，其中Φ是一个（伴随的）多项式，恰为n-3次，且在f=0的重点与尖点处为零。

克莱布什的另一贡献是引进亏格的思想对曲线进行分类。若曲线有d个二重点，则亏格p=(1/2)(n-1)(n-2)-d。以前有曲线的亏数概念（见十八世纪的解析几何和微分几何（二）），即n次曲线可能有的二重点最多个数(1/2)(n-1)(n-2)减去确实有的二重点数。克莱布什证明：只具有寻常重点（切线全不相同）的曲线，亏格(genus)与亏数(deficiency)相等，且亏格在把平面变到自己的双有理变换下是一个不变量。克莱布什的亏格概念是与黎曼对黎曼曲面的连通数相关联的。与亏格为p的曲线对应的黎曼曲面具有连通数2p+1。
亏格的概念可以用来建立曲线的重要定理。Jacob Luroth(1844-1910)证明了亏格为0的曲线可用双有理变换变到一条直线。克莱布什证明了一条亏格为1的曲线可用双有理变换变到三次曲线。
除去用亏格分类曲线外，克莱布什还仿照黎曼在每个亏格中引进类别。黎曼考虑过黎曼曲面的双有理变换，例如，若f(w,z)=0是曲面的方程，并设是有理函数，且逆变换是有理函数，则f(w,z)可以变换成F(w1,z1)=0。两个代数方程F(w,z)=0（或它们的曲面）仅当它们有相同的p值时才可以彼此双有理变换。（曲面的页数不一定保持不变。）黎曼不要求进一步证明，它是由直观保证的。
黎曼（在1857年的论文中）认为所有能彼此双有理变换的方程（或曲面）属于同一类。它们有相同的亏格p。然而，不同的类别可具有相同的p值（因为歧点可以不同）。亏格为p最普遍的一类，当p>0时用3p-3个（复数）常数（方程中的系数）去刻划，p=1时用一个常数刻划，p=0时用0个常数刻划。对椭圆函数，p=1，有一个常量。对三角函数，p=0，没有常量。黎曼把常量个数称为类模数。常量在双有理变换下是不变量。
克莱布什同样把从一个曲线用一一对应的双有理变换导出的所有曲线放在一类。在同一类的曲线必然有相同的亏格，但是不同的类可以具有相同的亏格。