相关系数绝对值小于等于1的证明（扩展）

ncc匹配（四，相关系数绝对值小于等于1的证明）

中提及(1+2+3+……+n）^2<=n*(1^2+2^+3^2+……+n^2)的归纳法证明，我忘记归纳法了。

网上搜了一下，有：

1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2= n * (n + 1) * (2n + 1) / 6

其实这个证明，著名数学家刘薰宇《给孩子的数学三书》（杨振宁推荐，丰子恺绘画）也有证明，刚刚看过没多久，但是没有记住。

(1+2+3+……+n）^2=[(n+1)*n/2]^2

根据上面两个公式：(1+2+3+……+n）^2<=n*(1^2+2^+3^2+……+n^2)变化为：

[(n+1)*n/2]^2<=n * (n + 1) * (2n + 1) / 6*n

简化后，我们需要证明：

1<=1/3*n*n+2/3

显然n=1时，相等

n>1时，结论成立。

参考，ncc匹配（四，相关系数绝对值小于等于1的证明）

可以推出：

（xy+x1y1+...+xnyn）/（sqrt(x^2+x1^2+...+xn^2)*sqrt(y^2+y1^2+...+yn^2)）<=1

这个公式就是图像处理中

相关系数公式p=E(ab)/sqrt(Ea^2*Eb^2)的展开。

所以就能证明|p|<=1.