算法设计思想--分治法

分治法：

核心思想，

1.分解，把大问题分解为多个规模更小的同一类型的问题。
2.求解
在问题规模足够小时，立即得到结果。
3.合并
依据所有分解后问题的解，进行综合处理，
得到一个属于大问题的解。

正确性证明

数学归纳法

通过分治实现的算法，用数学归纳法来证明正确性。
数学归纳法的证明：
初始时，
问题规模足够小时，算法目标可以实现。
对于给定规模为k的算法输入，
依据数学归纳法，
输入规模小于k的情形下，算法目标均可以实现。
须论证，规模k的算法，
在处理完毕时，可以得到该规模下的算法目标。

综合，
通过证明初始时，和规模为k下算法目标均可实现。即可证明算法对任意规模输入均成立。

另一种更具普适性的证明视角

有时不太肯定，
是否分解后的同类型问题属于原问题下一个规模更小的子问题。
可以按如下思路证明：
分治或包含分治处理的算法，
在算法处理中，
要么，在算法处理中，可以直接对问题求解。
此时算法必然成立。
要么，
在算法处理中，
将要求解的问题，转化为了一个或多个相同类型的问题，
在假定转化后的相同类型问题均可求解的前提下，
算法将可以完成对于输入问题的求解。

下面证明相同类型问题可被求解。
需要证明，在最坏情况下，
算法也必然在有限次转化为同类型问题后的某次，
可以达到可以直接求解的情形。

若上述被证明。
则，我们可知从最后一次直接被求解的情况，
逐层上移，最终到达本输入中时，
我们可以完成对分解后同类型的问题的可求解的证明。
综合，
算法成立。