代码随想录算法训练营Day44|完全背包理论基础、518.零钱兑换II、377. 组合总和 Ⅳ

目录

完全背包理论基础

完全背包问题

算法实现

518.零钱兑换II

前言

思路

377. 组合总和 Ⅳ

前言

思路

 算法实现

总结


完全背包理论基础

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完全背包问题

         有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

        这是一道纯完全背包问题,完全背包与0-1背包的区别在于0-1背包问题每个物品只能放一次,而完全背包问题每个物品可以放任意次。

        因此01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上,所以本文就不去做动规五部曲了,我们直接针对遍历顺序经行分析!

        首先再回顾一下01背包的核心代码:

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

        0-1背包是先遍历物品,在遍历背包,并且在遍历背包时是倒序遍历,这样才能保证每个物品仅被添加一次。而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历:

// 先遍历物品,再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

        01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了,一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品,再遍历背包容量。

        在完全背包中,对于一维dp数组来说,其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的!因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

算法实现

#include 
using namespace std;

void test_CompletePack(vector weight, vector value, int bagWeight){
    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    // 采用先遍历物品,再遍历背包的方式
    for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
             dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main(){
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    vector weight(N, 0);
    vector value(N, 0);
    for (int i = 0; i < N; i++){
        int w;
        int v;
        cin >> w >> v;
        weight.push_back(w);
        value.push_back(v);
    }
    test_CompletePack(weight, value, V);
    return 0;
}

        如果要采用先遍历背包,再遍历物品的方式,可以采用以下代码:

// 先遍历背包,再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}

518.零钱兑换II

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前言

         这是一道典型的背包问题,一看到钱币数量不限,就知道这是一个完全背包。但本题和纯完全背包不一样,纯完全背包是凑成背包最大价值是多少,而本题是要求凑成总金额的物品组合个数!与目标和那题有点类似,不过那道题限制了每个物品只能取一次,是一道0-1背包问题。

思路

        利用动规五部曲进行分析:

1.确定dp数组及其下标的含义:

        dp[j]:凑成总金额j的货币组合数为dp[j]。

2.确定递推公式:

        dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]](考虑coins[i]的情况)相加。

        所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]];

        在01背包题目的时候在这篇494. 目标和 (opens new window)中就有出现,求装满背包有几种方法,公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]];

3.初始化dp数组:

        首先dp[0]一定要为1,dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话,后面所有推导出来的值都是0了。其他下标都初始化为1;

4.确定遍历顺序:

        在上一节理论基础中讲到完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。但本题就不行了!

        因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少,和凑成总和的元素有没有顺序没关系,即:有顺序也行,没有顺序也行!

        而本题要求凑成总和的组合数,元素之间明确要求没有顺序。自己打印dp数组和分析遍历物品和背包的不同顺序可以发现,求组合问题要先遍历物品,再遍历背包;而求排列问题要先遍历背包,再遍历物品!

        举个例子,我们先来看 外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额)的情况:

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

        假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5。那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!

        如果把两个for交换顺序,代码如下:

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

        背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。此时dp[j]里算出来的就是排列数!

5.打印dp数组:

        输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ,dp状态图如下:

 算法实现文章链接

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        vector dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

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前言

         本题表面上是让我们求的元素的组合,但是又说元素相同顺序不同的组合算两个组合,因此是一道排列问题!

思路

        本题求的是排列总和,而且仅仅是求排列总和的个数,并不是把所有的排列都列出来。如果本题要把排列都列出来的话,只能使用回溯算法爆搜

        利用动规五部曲来进行分析:

1.确定dp数组及其下标的含义:

        dp[j]: 凑成目标正整数为j的排列个数为dp[j]个;

2.确定递推公式:

        与上一题相同,求装满背包有几种方法,公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]];

3.dp数组初始化:

        为了使递推公式成立,可以代入具体数值确定,可以得到dp[0] = 1,其余下标初始化为0;

4.确定遍历顺序:

        上一题已经明确:求组合问题要先遍历物品,再遍历背包;而求排列问题要先遍历背包,再遍历物品!

        因此本题的遍历顺序是先遍历背包,再遍历物品。

5.打印dp数组:

代码随想录算法训练营Day44|完全背包理论基础、518.零钱兑换II、377. 组合总和 Ⅳ_第1张图片

 算法实现

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector& nums, int target) {
        vector dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int j = 0; j <= target; j++) {
            for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
                if (j >= nums[i] && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

总结

        今天学了完全背包问题的处理方法,并且回顾了求装满背包问题的递推公式:dp[j - nums[i]]。

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