代码随想录算法训练营Day44|完全背包理论基础、518.零钱兑换II、377. 组合总和 Ⅳ

目录

完全背包理论基础

完全背包问题

算法实现

518.零钱兑换II

前言

思路

377. 组合总和 Ⅳ

前言

思路

 算法实现

总结

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完全背包理论基础

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完全背包问题

         有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

        这是一道纯完全背包问题，完全背包与0-1背包的区别在于0-1背包问题每个物品只能放一次，而完全背包问题每个物品可以放任意次。

        因此01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！

        首先再回顾一下01背包的核心代码：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

        0-1背包是先遍历物品，在遍历背包，并且在遍历背包时是倒序遍历，这样才能保证每个物品仅被添加一次。而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

        01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

        在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

算法实现

#include 
using namespace std;

void test_CompletePack(vector weight, vector value, int bagWeight){
    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    // 采用先遍历物品，再遍历背包的方式
    for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
             dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main(){
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    vector weight(N, 0);
    vector value(N, 0);
    for (int i = 0; i < N; i++){
        int w;
        int v;
        cin >> w >> v;
        weight.push_back(w);
        value.push_back(v);
    }
    test_CompletePack(weight, value, V);
    return 0;
}

        如果要采用先遍历背包，再遍历物品的方式，可以采用以下代码：

// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}

518.零钱兑换II

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前言

         这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！与目标和那题有点类似，不过那道题限制了每个物品只能取一次，是一道0-1背包问题。

思路

        利用动规五部曲进行分析：

1.确定dp数组及其下标的含义：

        dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]。

2.确定递推公式：

        dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

        所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

        在01背包题目的时候在这篇494. 目标和 (opens new window)中就有出现，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

3.初始化dp数组：

        首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。其他下标都初始化为1；

4.确定遍历顺序：

        在上一节理论基础中讲到完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。但本题就不行了！

        因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

        而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。自己打印dp数组和分析遍历物品和背包的不同顺序可以发现，求组合问题要先遍历物品，再遍历背包；而求排列问题要先遍历背包，再遍历物品！

        举个例子，我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

        假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

        如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

        背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。此时dp[j]里算出来的就是排列数！

5.打印dp数组：

        输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

 算法实现文章链接

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        vector dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

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前言

         本题表面上是让我们求的元素的组合，但是又说元素相同顺序不同的组合算两个组合，因此是一道排列问题！

思路

        本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

        利用动规五部曲来进行分析：

1.确定dp数组及其下标的含义：

        dp[j]: 凑成目标正整数为j的排列个数为dp[j]个；

2.确定递推公式：

        与上一题相同，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

3.dp数组初始化：

        为了使递推公式成立，可以代入具体数值确定，可以得到dp[0] = 1，其余下标初始化为0；

4.确定遍历顺序：

        上一题已经明确：求组合问题要先遍历物品，再遍历背包；而求排列问题要先遍历背包，再遍历物品！

        因此本题的遍历顺序是先遍历背包，再遍历物品。

5.打印dp数组：

 算法实现

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector& nums, int target) {
        vector dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int j = 0; j <= target; j++) {
            for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
                if (j >= nums[i] && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

总结

        今天学了完全背包问题的处理方法，并且回顾了求装满背包问题的递推公式：dp[j - nums[i]]。