算法专辑0：脑筋急转弯

20200420 刷题，不可懈怠

1.抛硬币

甲乙双方互相投掷硬币，先得正面者获胜，问先投掷者获胜的概率？

答案：2/3 理由如下： 甲先投，考虑甲乙各投一次的概率，甲获胜的概率为1/2，乙获胜的概率为1/4；剩余1/4进入下一轮。下一轮又重复以上过程，即取极限可得甲获胜的概率为乙的两倍；因而先投者获胜概率为2/3。

2.Nim游戏

题目详见leetcode。

属于博弈问题。

答案：只要该数不能被4整除，我就能赢。 例子给出如果有4块石头，那么我是必输的，理由很明显。那么如果只有m=1、2、3块石头，我一次取完便可获胜，如果有4+m(m=1,2,3)块石头，我只要取走m块，让对方陷入只剩4块石头的必输局面；相反，如果有4*n块石头，我任意取走m(1,2,3)块，对方只要取走4-m块，一直重复先去，最后始终会让我面临只剩4块的必输局，因而在被4整除时，我必输。

3.移动石子直到连续

这里是引用

此处注意
1）输入一定排好序
2）认真审题！左右移动石子可以直接跨过中间石子。

4.飞机座位分配概率

这里是引用

答案： f(1)=1; f(n)=0.5;n>1
分析： 此题和给定纸币面额，纸币找零最少张数类似。
因为第一个人忘带票了，其随机选座，因而分类讨论：
1）如果第一个人正好坐在自己的位置，那么之后所有的人都会坐在自己的位置。
2）如果第一个人正好坐在第n个人的位置，那么第n个人没可能坐在自己的位置。
3）如果第一个人坐在除了自己位置以及第n个人的位置之外的n-2个位置，设为i。如果i=2，那么第二个人将随机选座，如果i不等于2，那么2-i个人将正确入座，直到第i个人面临被占坐局面，随机选座，？？？？

总结：
1）分类讨论、数学归纳
2）递推、动态规划

5.灯泡开关

难度：中等

答案：sqrt(n)
平方数常亮