数论 - 约数基础 【 试除法求所有约数 + 约数个数和约数之和 + 欧几里得算法-求解最大公约数 】

数论—约数基础

1.约数定义

约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。在大学之前，"约数"一词所指的一般只限于正约数。约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。

2.试除法求所有约数

vector<int> get_divisors(int x)
{
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if (i != x / i) res.push_back(x / i);
        }
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

3.约数个数和约数之和

理论：
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * … *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * … * (ck + 1)
约数之和： (p1^0 + p1^1 + … + p1^c1) * … * (pk^0 + pk^1 + … + pk^ck)
推导过程：

4.欧几里得算法-求解最大公约数

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b , a%b) : a;
} 

5.题目练习

(1)AcWing-869. 试除法求约数

给定n个正整数ai，对于每个整数ai,请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个整数ai。
输出格式
输出共n行，其中第 i 行输出第 i 个整数ai的所有约数。
数据范围
1≤n≤100,
2≤ai≤2∗109
输入样例：
2
6
8
输出样例：
1 2 3 6
1 2 4 8
代码

#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
int ans[maxn],cnt;
void get_divisors(int n)
{
	for (int i = 1; i <= n / i; i++)   //只需遍历一半
	{
		if (n%i == 0)
		{
			ans[cnt++] = i;
			if (i != n / i)
			{
				ans[cnt++] = n / i;
			}
		}
	}
	sort(ans,ans+cnt);
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		cnt = 0;
		int x;
		cin >> x;
		get_divisors(x);
		for (int i = 0; i < cnt; i++)
		{
			cout << ans[i] << ' ';
		}
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

(2)AcWing -870. 约数个数

给定n个正整数ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对109+7取模。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个整数ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对109+7取模。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：
3
2
6
8
输出样例：
12
代码

#include
#include
#include
#include  //无序映射
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	unordered_map<int, int>primes;
	while (n--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		for (int i = 2; i <= x / i; i++)
		{
			while (x%i == 0)  //i为约数
			{
				x /= i;
				primes[i]++;   //统计每个约数的个数
			}
		}
		if (x > 1)  primes[x]++;  //如果还没分解清,说明剩下的这个数是它的因数且只有一个
	}
	ll ans = 1;
	for (auto prime : primes)
	{
		ans = ans * (prime.second + 1) % mod;//约数个数=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

(3)AcWing- 871. 约数之和

给定n个正整数ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对109+7取模。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个整数ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对109+7取模。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：
3
2
6
8
输出样例：
252
代码

#include
#include
#include  //无序映射
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
unordered_map<int, int >primes;
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		for (int i = 2; i <= x / i; i++)
		{
			while (x%i == 0)  //i为约数
			{
				x /= i;
				primes[i]++;  //统计每个约数的个数
			}
		}
		if (x > 1) primes[x]++; //如果还没分解清,说明剩下的这个数是它的因数且只有一个
	}
	ll ans = 1;
	for (auto prime : primes)
	{
		ll t = 1;
		int p = prime.first, a = prime.second; //p为约数，a为约数的个数
		while (a--)
		{
				t = (t*p + 1) % mod;//约数之和： (p1^0 + p1^1 + … + p1^c1) * … * (pk^0 + pk^1 + … + pk^ck)
		}
		ans = (ans*t) % mod;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

(4)AcWing -872. 最大公约数

给定n对正整数ai,bi，请你求出每对数的最大公约数。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个整数对ai,bi。
输出格式
输出共n行，每行输出一个整数对的最大公约数。
数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,bi≤2∗109
输入样例：
2
3 6
4 6
输出样例：
3
2
代码

#include
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a%b) : a;  //(a,b)=(b,a%b)
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		cout << gcd(a, b) << endl;
	}
	return 0;
}