二面角：2016年理数全国卷A题18（12分）
如图，在以 为顶点的五面体中，面 为正方形，，，且二面角 与二面角 都是
（I）证明∶平面 平面 ;
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
2016年理数全国卷A
【解答问题I】
面 为正方形
∵ ,
∴ 平面 ,
又∵ 平面 ,
∴ 平面 平面 .
【解答问题Ⅱ：准备工作】
∵ 面 为正方形，
∴ , ,
又 ∵ 平面 , （前节已证）
∴ 平面 ,
∴
又∵ 二面角 与二面角 都是
∴
∵ , 平面 ,
平面 平面 ,
∴ .
∴ 是等腰梯形.
又∵ , ∴
令 , 以点 为原点建立直角坐标系，以 为 轴，以 为 轴，以 所在一侧为 轴正方向.
各点坐标如下：
【解答问题Ⅱ：算法一】
令 ,
,
二面角 的余弦值为 .
【解答问题Ⅱ：算法二】
令 为平面 的法向量，则有：
∴
令 为平面 的法向量，则有：
∴
二面角 的余弦值为 .
【提炼与提高】
本题第1问，由线线垂直推出线面垂直；由线面垂直推出面面垂直。
本题第2问，适合用向量方法解决。我们用两种方法分别计算，结果相同。用两种方法独立计算，可以直到验算的效果，避免因为一些低级失误而丢分。