二面角：2016年理数全国卷A题18

二面角：2016年理数全国卷A题18（12分）

如图，在以 为顶点的五面体中，面 为正方形，，，且二面角 与二面角 都是

（I）证明∶平面 平面 ;

（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

2016年理数全国卷A

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【解答问题I】

面 为正方形

∵ ,

∴ 平面 ,

又∵ 平面 ,

∴ 平面 平面 .

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【解答问题Ⅱ：准备工作】

∵ 面 为正方形，

∴ , ,

又 ∵ 平面 , （前节已证）

∴ 平面 ,

∴

又∵ 二面角 与二面角 都是

∴

∵ , 平面 ,

平面 平面 ,

∴ .

∴ 是等腰梯形.

又∵ , ∴

令 , 以点 为原点建立直角坐标系，以 为 轴，以 为 轴，以 所在一侧为 轴正方向.

各点坐标如下：

【解答问题Ⅱ：算法一】

令 ,

,

二面角 的余弦值为 .

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【解答问题Ⅱ：算法二】

令 为平面 的法向量，则有：

∴

令 为平面 的法向量，则有：

∴

二面角 的余弦值为 .

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【提炼与提高】

本题第1问，由线线垂直推出线面垂直；由线面垂直推出面面垂直。

本题第2问，适合用向量方法解决。我们用两种方法分别计算，结果相同。用两种方法独立计算，可以直到验算的效果，避免因为一些低级失误而丢分。

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