高中奥数 2021-06-05

2021-06-05-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合刘诗雄 集合的分划 P33 例2）

集合的分拆是将表示为两两不相交的子集的并.对于和分拆,将包含的子集中元素的数目记为.例如,若,则.证明:对的任意两个分拆,存在的两个不同的元素,使得

解

用反证法.假设可以找到的两个分拆,使不存在的两个不同的元素,满足
对于确定的,若有四种不同的取值,则至少需要个元素,而,矛盾.所以至多有三种不同的取值.

若同时有四个元素的取值相等,由于至多有三个不同的取值,所以,必有四个中的两个元素,使得,与假设矛盾.

若至多有两种不同的取值,由抽屉原理知,至少有的四个不同元素的值相同.

这说明对于任意确定的,恰有三种不同取值,且每种取值有三个元素取到.

也就是说对于分拆,的每一个子集的元素个数不超过3.

不妨设

是不可能的.这就否定了假设.

2021-06-05-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的分划 P34 例3）

对一个由非负整数组成的集合，定义为满足下述条件的有
序对的对数:

问:是否能将非负整数集分划为两个集合和,使得对任意,均有?

分析

整数有多种表示形式,其中二进制表示的每位数字只有0和1这两种选择.由于是将分划为两个集合、,对每个固定的,满足的非负整数对是有限的,用二进制数来讨论,在和中的分配情况似乎较有利.

解

存在上述的分划.

将所有二进制表示下数码1出现偶数个的非负整数归入集合,其余的非负整数归入,则是非负整数集的分划.

注意到,对中满足的数对,由于,因此在二进制表示下与必有一位上的数码不同,从右到左看,第1个不同数码的数位上,改变在该位上的数码,分别得到,则,且.这个将对应到的映射是一对应，因此.