数据结构004：矩阵置零

题目

给定一个 m x n 的矩阵，如果一个元素为 0 ，则将其所在行和列的所有元素都设为 0 。请使用 原地 算法。

示例 1：

mat1.jpg

输入：matrix = [[1,1,1],[1,0,1],[1,1,1]]
输出：[[1,0,1],[0,0,0],[1,0,1]]

示例 2：

mat2.jpg

输入：matrix = [[0,1,2,0],[3,4,5,2],[1,3,1,5]]
输出：[[0,0,0,0],[0,4,5,0],[0,3,1,0]]

题解

原地算法百度百科的解释是：在计算机科学中，一个原地算法（in-place algorithm）是一种使用小的，固定数量的额外之空间来转换资料的算法。

通俗的说原地算法就是除了可以运用输入数据本身已开辟的空间外，就只可以用极小的辅助空间来进行运算了，一般额外空间复杂度为，也就是一个变量的算法。根据题意我们首先想到的是，遍历整个矩阵，并使用两个一维数组，分别记录元素为0的元素所在的行和列，然后再遍历一次矩阵，判断每个元素是否属于被标记的行和列，若在则将该元素置为0，该思路对应的算法实现如下:

class Solution {
    public:
    void setZeroes(vector>& matrix) {
        int m = matrix.size();
        int n = matrix[0].size();
        vector row(m,false),col(n,false);
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                if(matrix[i][j] == 0){
                    row[i] = col[j] = true; //将对应的行和列标记为true
                }
            }
        }
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                if(row[i] || col[j]){ //判断该元素是否属于被标记的行或列中
                    matrix[i][j] = 0;
                }
            }
        }
    }
};

其中是矩阵的行数，是矩阵的列数。我们至多只需要遍历该矩阵两次，因此其对应的时间复杂度为，空间复杂度为。

上面的算法中，我们使用了两个一维数组，为了降低其空间复杂度，我们思考一下能否进一步优化它，根据矩阵的形式，我们是否可以使用矩阵的某一行和某一列来代替我们上述算法中使用的两个一维数组，那我们尝试使用第一行和第一列来代替上述算法中的一维数组，但这样会修改第一行和第一列的原始元素，因此，我们应首先确认第一行和第一列原始数据是否存在0，我们可以使用两个布尔变量来表示它，然后我们就可以遍历剩余元素，并通过矩阵第一行和第一列的元素来记录他们，这样我们只是用了常数空间存储若干个变量，因此可将算法的空间复杂度降低到。优化后的算法实现如下：

class Solution {
    public:
    void setZeroes(vector>& matrix) {
        int m = matrix.size();
        int n = matrix[0].size();
        bool flag_row0(false), flag_col0(false);
        //判断第一行原始数据是否存在0
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            if(matrix[i][0] == 0) flag_row0 = true;
        }
        //判断第一列原始数据是否存在0
        for(int j = 0; j < n; ++j){
            if(matrix[0][j] == 0) flag_col0 = true;
        }
        //记录剩余元素的状态，并记录到matrix[i][0]和matrix[0][j]中
        for(int i = 1; i < m; ++i){
            for(int j = 1; j < n; ++j){
                if(matrix[i][j] == 0){
                    matrix[i][0] = matrix[0][j] = 0;
                }
            }
        }
        //根据matrix[i][0]和matrix[0][j]的状态，将matrix对应的行和列元素置为0
        for(int i = 1; i < m; ++i){
            for(int j = 1; j < n; ++j){
                if(matrix[i][0] == 0 || matrix[0][j] == 0){
                    matrix[i][j] = 0;
                }
            }
        }
        //根据行的状态，确定第一行是否要全部置0
        if(flag_row0){
            for(int i = 0; i < m; ++i)
                matrix[i][0] = 0;
        }
        //根据行的状态，确定第一列是否要全部置0
        if(flag_col0){
            for(int i = 0; i < n; ++i)
                matrix[0][i] = 0;
        }
    }
};