2 月 7 日算法练习- 数据结构-树状数组上二分

问题引入

给出三种操作，
0在容器中插入一个数。
1在容器中删除一个数。
2求出容器中大于a的第k大元素。

树状数组的特点就是对点更新，成段求和，而且常数非常小。原始的树状数组只有两种操作，在某点插入一个数和求1到i的所有数的和。

这道题目一共有三种操作，但是实质上其实只有两种：插入和询问。插入操作和删除操作可以视为一种，只不过一个是将标记+1，另一个是－1，而插入的数对应于树状数组的下标，这样就可以在log（n）的时间内完成插入和删除。
求大于a的k大元素，可以通过二分枚举答案来完成，枚举的是当前答案在树状数组中的位置，设为m，然后对v［a+1］- v［m］求和就是小
于等于m的数的个数，这一步可以用树状数组的求和操作来完成，然后根据和k的比较来调整m的位置。询问的复杂度也是log（n）的。

#include
using namespace std;
const int maxn = 110000;
int tree[maxn];
int q;

int lowbit(int x){
    return x&-x;
}

void add(int pos,int x){
    while(pos<maxn){
        tree[pos] += x;
        pos += lowbit(pos);
    }
    return;
}
int query(int pos){
    int res = 0;
    while(pos){
        res+=tree[pos];
        pos -= lowbit(pos);
    }
    return res;
}

int find(int a,int k){
    int l = a+1,r = maxn-1;
    int ans = -1;
    while(l<=r){
        int mid = (l+r)>>1;
        if(query(mid)-query(a)==k)ans = mid;
        if(query(mid)-query(a)>=k)r = mid-1;
        else l = mid +1;
    }
    return ans;
}

int main( ){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>q;
    while(q--){
        int x,y,z;
        cin>>x;
        if(x==0){
            cin>>y;
            add(y,1);
        }else if(x==1){
            cin>>y;
            if((query(y)-query(y-1))==0)continue;
            add(y,-1);
        }else{
            cin>>y>>z;
            cout<<find(y,z)<<'\n';
        }
    }
    return 0;
}

算法分析

树状数组+二分复杂度可以比较直接的得到为 nlog2n

修改数组

思路：利用树状数组+二分。利用树状数组来快速求得区间和从而利用二分来找到第一个大于 i 的数的位置。

#include
using namespace std;
const int maxn = 1e5+9;
int a[maxn],vis[maxn],tree[maxn];
int n;

int lowbit(int x){
    return x&-x;
}

void add(int k,int x){
    while(k<maxn){
        tree[k]+=x;
        k += lowbit(k);
    }
}

int query(int k){
    int ans = 0;
    while(k){
        ans+=tree[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return ans;
}

int main( ){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!vis[a[i]])vis[a[i]]=1,add(a[i],1);
        else{
            int l=a[i],r =maxn,ans = -1;
            while(l<=r){
                int mid = (l+r)>>1;
                if(query(mid)-query(a[i]-1)<mid-a[i]+1)r = mid-1,ans = mid;
                else l = mid+1;
            }
            a[i] = ans;
            vis[ans]=1;
            add(ans,1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" \n"[i==n];
    return 1;
}