第二章：数值积分

写在前面：
这一章的目的是处理那些找不到原函数的积分问题，比如一些特殊的函数和一些离散点。

2.1 机械求积

常见的求积方法：

• 梯形公式:

• 中矩形公式：
• Simpson公式：

机械求积公式：

---

代数精度：一个求积公式，若对于次数小于m精确成立，对于m+1次多项式不准确，则称之为具有m次代数精度。

关于代数精度有一道经典的例题：

这道题的思路就是，根据未知数A的个数，将f(x)=1,x,x²····依次带入式子中，解出未知数后，再继续往后验证即可。

2.2 插值型求积公式

插值型求积公式实际上就是结合了拉格朗日插值，做n次插值：

其中lᵢ(x)是拉格朗日插值基函数。

2.3 牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式实际上就是插值型求积公式的一个变型，其特点在于将区间等分，取等分点构造求积公式。

---

实际上柯特斯系数可以通过查表获得：

然而Newton-Cotes公式有一个致命的弱点，就是高阶不适用，因而引出复化求积。

2.4 复化求积法

什么是复化求积：主要的目的就是通过将积分区间分成多个小区间，在每个小区间上使用低次牛顿柯特斯公式。

几种常用的复合求积公式：

• 复合梯形公式：
  余项：

• 复合Simposon公式：
  余项:

这一章就做例题就完事儿了：

这个题实际上就是把区间八等分，即n=8，得到九个节点，分别带入公式就好：

• 复化辛普森公式要用到每个区间的端点和中点，把八等分看作四等分加上每个中间有一个中点：

• 复化Cotes公式再少一半的n：
  
  

  其实如果记不住这个区间划分，就直接记着几等分的梯形公式就是几，然后往下依次减半。

再来个关于精度的问题

这里主要是使用误差的结果，M即为在区间内某一点导函数的最大值：

• 
  
  这题有一个处理的小技巧，如果考试遇到了可以用一下，就是把原函数变形为积分的状态：

2.5 龙贝格算法

这里就把前面几个方法像俄罗斯套娃一样串起来了~

复化梯形公式：

• 由复化梯形公式推复化Simpson公式：

• 由复化Simpson公式得复化Cotes公式:

• 由复化Cotes公式推Romberg公式：
  
  
  统一表示：
  
  实际计算就用这个表就可以：

例题：

练习

1.插值型求积公式时机械积分公式。正确
2.梯形公式的代数精度为:1
3.Newton-Cotes公式求积公式的系数Cₖ⁽ⁿ⁾和为:1
4.计算柯特斯系数需要知道等距点的函数值及区间。错误
5.Cotes求积函数与积分区间和被积函数有关。错误

6. Romberg算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形产生的近似值进行加权平均，以获得精度更高的一种方法。
   7.梯形序列和Simpson序列的关系是：S是T的加权线性组合