算法复杂度分析(O)

算法复杂度是指算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，资源包括时间资源和内存资源。可以大概理解为操作的次数和数据个数的比例关系。

算法复杂度分析

O

参考 《Data Structures and Algorithms in Python》 中给的一个例子:

考虑计算一个 n * n 矩阵所有元素的和：

这里列举两种方式:

# version1
total_sum = 0
for i in range(n):
    row_sum[i] = 0
    for j in range(n):
        row_sum[i] = row_sum[i] + matrix[i, j]
        total_sum = total_sum + matrix[i, j]

# version2
total_sum = 0
for i in range(n):
    row_sum[i] = 0
    for j in range(n):
        row_sum[i] = row_sum[i] + matrix[i, j]
    total_sum = total_sum + row_sum[i]    # 注意这里和上边的不同

v1 版本的关键操作在 j 循环里，两步加法操作，由于嵌套在第一个循环里，操作步骤是 。
v2 版本的 total_sum 只有 n 次操作，它的操作次数是 。
这里你可能还感觉不到它们有多大差别，因为计算机执行的太快了，但是当 n 增长特别快的时候，总的操作次数差距就很明显了：

操作次数比较

通常我们不太关注每个算法具体执行了多少次，而更关心随着输入规模 n 的增加，算法运行时间将以什么速度增加。为此计算机科学家定义了一个符号， 用来表示在最糟糕的情况下算法的运行时间，大 O 符号，在数学上称之为渐进上界（《算法导论》）。

如何计算时间复杂度

上边我们列举了两个版本的计算矩阵和的代码，你看到了两个公式:

• v1:
• v2:

当 n 非常大的时候， 的数值这里将占主导，我们可以忽略 n 的影响

• v1:
• v2:

这里我们可以认为两个算法的时间复杂度均为

常用时间复杂度

这里我们列举一些常用的时间复杂度，按照增长速度排序，日常我们的业务代码中最常用的是指数之前的复杂度，指数和阶乘的增长速度非常快， 当输入比较大的时候用在业务代码里是不可接受的。

O	名称	举例
1	常量时间	一次赋值
	对数时间	折半查找
	线性时间	线性查找
n	对数线性时间	快速排序
	平方	两重循环
	立方	三重循环
	指数	递归求斐波那契数列
	阶乘	旅行商问题

空间复杂度

相比时间复杂度，空间复杂度讨论比较少。因为用户老爷等不及，况且现在存储越来越白菜价了，更多时候我们为了提升响应速度宁可多 使用点空间。 空间复杂度相对好算一些，就是每个元素的空间占用乘以总的元素数，有些算法需要额外的空间存储，有些可以本地解决。 如果能本地搞定的我们成为 in place 的，原地操作，比如交换一个 数组中的某两个位置的元素。但是有些操作可能就需要申请额外的空间 来完成算法。

常见复杂度增长趋势图

为了有个直观的感觉，看看一些经典的时间复杂度和对应的增长趋势图，不同函数在输入规模增长的时候很快就会有巨大的增长差异

常见复杂度增长趋势图

时间换空间，空间换时间

有一些时候时间和空间两者不可兼得，我们会牺牲其中之一来换取另一个。

空间换时间：比如典型的就是 python 中的集合，虽然它比较浪费空间，但是却能用 O(1) 的时间复杂度来判重。

时间换空间：当我们空间不够用，典型的就是缓存失效算法，我们不可能缓存下无限容量的数据，就会使用一些缓存淘汰算法来保证空间可用。
参考