差分约束算法

一、题目描述

P5960 【模板】差分约束

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二、题目简析

差分约束问题的典型特征是一组不等式。只要画出约束图，这类问题都可以准换为最短路径问题。注意：约束图是有向图。

2.1 约束图的顶点

约束图的顶点（$V$） = 一个未知数对应一个顶点（$v_1,v_2,...,v_n$） + 一个额外的顶点（$v_0$）

2.2 约束图的边

约束图的边由两部分组成：

• 1、从 $v_0$ 到各顶点的有向边
  有 $n$ 个顶点，就有 $n$ 条这样的有向边。同时，这些边的权值为 0。
• 2、由不等式组得到的有向边
  有 $m$ 个不等式，就有 $m$ 条这样的有向边。以 $v_1-v_2\le y_1$ 为例，变形为 $v_1\le v_2+y_1$，有向边为 $e(v_2,v_1)$，权值为 $e(v_2,v_1).w=y_1$。可以总结以下规则：先对不等式变形，使两个顶点位于不等式符号的两侧（顶点前为正符号）；然后，不等式符号开口朝向的顶点为起点，尖端朝向的顶点为终点，权值为开口朝向的那个常数（可正可负）。

举例：
原不等式组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2\le 3\\ x_2-x_3\le -2\\ x_1-x_3\le 1\end{array}$$

引入额外顶点 $v_0$，并画权值为0的有向边：

变形：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1\le x_2+3\\ x_2\le x_3-2\\ x_1\le x_3+1\end{array}$$

得到最终约束图：

2.3 由约束图求不等式组的解

上文提到，差分约束问题可以用最短路径求解，所以，我们也用一个数组 d[] 记录最短路径。我们令 $v_0$ 为起点，并初始化为 0。这里，就是 $d[0]=0$。接着，用最短路径算法求 $v_0$ 到各点的最短路径。各点的最短路径就是不等式组的一个解，即 $x=(x_1,x_2,...,x_n)=(d[1],d[2],...,d[n])$。
有两点需要注意：

• 1、因为边的权值可能为负，所以只能采用 $Bellman-Ford$。若返回 $ture$，说明存在负环，所以无解；若返回 $false$，说明不存在负环，则有解。
• 2、我们求出的只是不等式组的一个解，有以下性质：
  若 $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ 是不等式组的解，$a\in \mathbb{R}$，则 $x+a=(x_1+a,x_2+a,...,x_n+a)$ 也是不等式组的解。

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三、本题代码

#include 

using namespace std;

#define MAX 5003
#define INF 1e8

typedef struct
{
	int from, to, worth;
} edge;

int n, m;
vector<edge> E;
int d[MAX];

int quickin(void)
{
	int ret = 0;
	bool flag = false;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
	{
		if (ch == '-')
			flag = true;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9')
	{
		ret = 10 * ret + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)
		ret = -ret;
	return ret;
}

// Bellman-Ford
bool solve(void)
{
	fill(begin(d), end(d), INF);
	d[0] = 0;

	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		bool flag = false;
		for (int j = 0; j < E.size(); j++)
		{
			edge e = E[j];
			if (d[e.from] != INF && d[e.to] > d[e.from] + e.worth)
			{
				d[e.to] = d[e.from] + e.worth;
				flag = true;
				if (i == n - 1)
					return true;	// 存在负环
			}
		}
		if (!flag)
			break;
	}

	return false;
}

int main()
{
	n = quickin(), m = quickin();
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		int a, b, c;
		a = quickin(), b = quickin(), c = quickin();
		E.push_back(edge{b, a, c});
	}
	// 添加额外点
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		E.push_back(edge{0, i, 0});

	if (solve())
		puts("NO");
	else
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			printf("%d ", d[i]);

	return 0;
}

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完