完全背包问题

题目描述

有 $n$ 个重量和价值分别为 $w_i$，$v_i$ 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 $W$ 的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件。
数据范围：
$1\le n\le 100$
$1\le w_i,v_i\le 100$
$1\le W\le 10000$

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解析

令 $dp[i][j]=$ 从前 $i$ 种物品中挑选总重不超过 $j$ 的最大价值。
显然，完全背包问题与01背包问题的唯一区别：完全背包问题中的物品个数不是唯一的。我们先来看01背包的递推式：

$$\begin{array}{rl}dp[0][j]& =0\\ dp[i+1][j]& =\{\begin{array}{ll}dp[i][j]& ,j<w_i\\ max\{dp[i][j],dp[i][j-w_i]+v_i\}& ,j\ge w_i\end{array}\end{array}$$

从 $dp[i][j-w_i]+v_i$ 可以发现，因为01背包中的物品只有一个，所以最多只能拿一个。
对于完全背包来说，物品不止一个，在满足一定的条件下，可以取任意多个，即 $dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i$。以下为完全背包的递推式：

$$\begin{array}{rl}dp[0][j]& =0\\ dp[i+1][j]& =max(\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge 0\})\end{array}$$

注：$\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge 0\}$ 是一个集合。对该集合进行 $max()$ 后，目的是找到集合中的最大值。

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虽然我们得到了完全背包的递推式，但是它很复杂，接下来对它进行变形。

$$\begin{array}{rl}dp[i+1][j]& =max(\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge 0\})\\ & =max(dp[i][j],\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge 1\})\\ & =max(dp[i][j],\{dp[i][(j-w_i)-k\ast w_i]+v_i+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge 0\})\\ & =max(dp[i][j],\{dp[i][(j-w_i)-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge 0\}+v_i)\\ & =max(dp[i][j],dp[i+1][j-w_i]+v_i)\end{array}$$

由此，我们得到了完全背包的最终递推式：

$$\begin{array}{rl}dp[0][j]& =0\\ dp[i+1][j]& =\{\begin{array}{ll}dp[i][j]& ,j<w_i\\ max\{dp[i][j],dp[i+1][j-w_i]+v_i\}& ,j\ge w_i\end{array}\end{array}$$

注：$dp[i+1][j-w_i]+v_i$ 是与01背包唯一不同的地方，即 $i$ 变成了 $i+1$。

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代码

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[MAX][MAX]             // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= W; j++)
		{
			if (j < w[i])
				dp[i + 1][j] = dp[i][j];
			else
				dp[i + 1][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w[i]] + v[i]);   // 与01背包唯一的不同
		}
	}

	printf("%d\n", dp[n][W]);
}

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完