有 n n n 个重量和价值分别为 w i w_i wi, v i v_i vi 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 W W W 的物品,求所有挑选方案中价值总和的最大值。在这里,每种物品可以挑选任意多件。
数据范围:
1 ≤ n ≤ 100 1\le n\le100 1≤n≤100
1 ≤ w i , v i ≤ 100 1\le w_i,v_i\le100 1≤wi,vi≤100
1 ≤ W ≤ 10000 1\le W\le10000 1≤W≤10000
令 d p [ i ] [ j ] = dp[i][j]= dp[i][j]= 从前 i i i 种物品中挑选总重不超过 j j j 的最大价值。
显然,完全背包问题与01背包问题的唯一区别:完全背包问题中的物品个数不是唯一的。我们先来看01背包的递推式:
d p [ 0 ] [ j ] = 0 d p [ i + 1 ] [ j ] = { d p [ i ] [ j ] , j < w i m a x { d p [ i ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + v i } , j ≥ w i \begin{split} dp[0][j]&=0 \\ dp[i + 1][j]&=\begin{cases} dp[i][j]&,j
从 d p [ i ] [ j − w i ] + v i dp[i][j-w_i]+v_i dp[i][j−wi]+vi 可以发现,因为01背包中的物品只有一个,所以最多只能拿一个。
对于完全背包来说,物品不止一个,在满足一定的条件下,可以取任意多个,即 d p [ i ] [ j − k ∗ w i ] + k ∗ v i dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i dp[i][j−k∗wi]+k∗vi。以下为完全背包的递推式:
d p [ 0 ] [ j ] = 0 d p [ i + 1 ] [ j ] = m a x ( { d p [ i ] [ j − k ∗ w i ] + k ∗ v i ∣ j ≥ k ∗ w i , k ≥ 0 } ) \begin{split} dp[0][j]&=0 \\ dp[i + 1][j]&= max(\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}) \end{split} dp[0][j]dp[i+1][j]=0=max({dp[i][j−k∗wi]+k∗vi∣j≥k∗wi,k≥0})
注: { d p [ i ] [ j − k ∗ w i ] + k ∗ v i ∣ j ≥ k ∗ w i , k ≥ 0 } \{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\} {dp[i][j−k∗wi]+k∗vi∣j≥k∗wi,k≥0} 是一个集合。对该集合进行 m a x ( ) max() max() 后,目的是找到集合中的最大值。
虽然我们得到了完全背包的递推式,但是它很复杂,接下来对它进行变形。
d p [ i + 1 ] [ j ] = m a x ( { d p [ i ] [ j − k ∗ w i ] + k ∗ v i ∣ j ≥ k ∗ w i , k ≥ 0 } ) = m a x ( d p [ i ] [ j ] , { d p [ i ] [ j − k ∗ w i ] + k ∗ v i ∣ j ≥ k ∗ w i , k ≥ 1 } ) = m a x ( d p [ i ] [ j ] , { d p [ i ] [ ( j − w i ) − k ∗ w i ] + v i + k ∗ v i ∣ j ≥ k ∗ w i , k ≥ 0 } ) = m a x ( d p [ i ] [ j ] , { d p [ i ] [ ( j − w i ) − k ∗ w i ] + k ∗ v i ∣ j ≥ k ∗ w i , k ≥ 0 } + v i ) = m a x ( d p [ i ] [ j ] , d p [ i + 1 ] [ j − w i ] + v i ) \begin{split} dp[i + 1][j]&=max(\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}) \\ &=max(dp[i][j],\{dp[i][j-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge1\}) \\ &=max(dp[i][j],\{dp[i][(j-w_i)-k\ast w_i]+v_i+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}) \\ &=max(dp[i][j],\{dp[i][(j-w_i)-k\ast w_i]+k\ast v_i|j\ge k\ast w_i,k\ge0\}+v_i) \\ &=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w_i]+v_i) \end{split} dp[i+1][j]=max({dp[i][j−k∗wi]+k∗vi∣j≥k∗wi,k≥0})=max(dp[i][j],{dp[i][j−k∗wi]+k∗vi∣j≥k∗wi,k≥1})=max(dp[i][j],{dp[i][(j−wi)−k∗wi]+vi+k∗vi∣j≥k∗wi,k≥0})=max(dp[i][j],{dp[i][(j−wi)−k∗wi]+k∗vi∣j≥k∗wi,k≥0}+vi)=max(dp[i][j],dp[i+1][j−wi]+vi)
由此,我们得到了完全背包的最终递推式:
d p [ 0 ] [ j ] = 0 d p [ i + 1 ] [ j ] = { d p [ i ] [ j ] , j < w i m a x { d p [ i ] [ j ] , d p [ i + 1 ] [ j − w i ] + v i } , j ≥ w i \begin{split} dp[0][j]&=0 \\ dp[i + 1][j]&=\begin{cases} dp[i][j]&,j
注: d p [ i + 1 ] [ j − w i ] + v i dp[i+1][j-w_i]+v_i dp[i+1][j−wi]+vi 是与01背包唯一不同的地方,即 i i i 变成了 i + 1 i+1 i+1。
// 输入
int n, W; // n -- 物品个数;W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX]; // w[WMAX] -- 物品重量;v[VMAX] -- 物品价值
int dp[MAX][MAX] // dp数组,与记忆化数组一样,必须足够大
void solve(void)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j <= W; j++)
{
if (j < w[i])
dp[i + 1][j] = dp[i][j];
else
dp[i + 1][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w[i]] + v[i]); // 与01背包唯一的不同
}
}
printf("%d\n", dp[n][W]);
}
完