算法刷题day10

引言

今天是大年三十，提前祝大家新的一年天天开心，事事如意，过年把身体精神修养好后，年后继续朝着目标奋斗，然后加油吧！

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一、最长上升子序列

标签：简单 DP

思路：枚举每个a[i]，再枚举判断过的，如果a[i] > a[j]，那么找到最大的f[j]+1与当前的f[i]比较，最后寻找到最大的以i结尾的最长上升子序列

题目描述：

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1≤N≤1000，−109≤数列中的数≤109
输入样例：
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例：
4

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int a[N], f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        f[i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j)
        {
            if(a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
        }
    }
    
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) res = max(res, f[i]);
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

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二、地宫取宝

标签：DP

思路：首先要确定状态表示$f[i][j][cnt][k]$表示下标为$[i,j]$，取了$cnt$个，最大价值为$k$的所以集合的数量，然后状态可以划分为取$a[i][j]$的物品和不取$a[i][j]$的物品（需要$k==a[i][j]$），状态方程分别为
$f[i][j][cnt][k]=(f[i][j][cnt][k]+f[i-1][j][cnt][k]+f[i][j-1][cnt][k])$，
$f[i][j][cnt][k]=(f[i][j][cnt][k]+f[i-1][j][cnt-1][k]+f[i][j-1][cnt-1][k])(k=0,1,2,...k-1)$

题目描述：

X 国王有一个地宫宝库，是 n×m 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。

输入格式
第一行 3 个整数，n,m,k，含义见题目描述。

接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式
输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

数据范围
1≤n,m≤50,1≤k≤12,0≤Ci≤12
输入样例1：
2 2 2
1 2
2 1
输出样例1：
2
输入样例2：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
输出样例2：
14```

`示例代码：`

```cpp
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 55, MOD = 1000000007;

int n, m, k;
int a[N][N];
int f[N][N][13][14];

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            cin >> a[i][j];
            a[i][j]++;
        }
    }
    
    f[1][1][0][0] = 1;
    f[1][1][1][a[1][1]] = 1;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            for(int cnt = 0; cnt <= k; ++cnt)
            {
                for(int k = 0; k < 14; ++k)
                {
                    f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i-1][j][cnt][k]) % MOD;
                    f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i][j-1][cnt][k]) % MOD;
                    
                    if(cnt && k == a[i][j])
                    {
                        for(int s = 0; s < a[i][j]; ++s)
                        {
                            f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i-1][j][cnt-1][s]) % MOD;
                            f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i][j-1][cnt-1][s]) % MOD;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    
    LL res = 0;
    for(int i = 1; i <= 14; ++i) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

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三、波动数列

标签：DP

思路：这道题虽然看了讲解视频，敲了代码，但其实还是不是很懂。大概就是：状态表示为f[i][j]，为前i项，当前的总和除以n的余数是j的方案数的总和数，然后就推出一个方程
$f[i][j]=f[i-1][j-a\ast (n-i)]+f[i-1][j+b\ast (n-i)]$然后就递推就完了。

题目描述：

观察这个数列：

1 3 0 2 -1 1 -2 …

这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3，且每一项都为整数。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加 a 或者减少 b 的整数数列可能有多少种呢？

输入格式
共一行，包含四个整数 n,s,a,b，含义如前面所述。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。

由于这个数很大，请输出方案数除以 100000007 的余数。

数据范围
1≤n≤1000,−109≤s≤109,1≤a,b≤106
输入样例：
4 10 2 3
输出样例：
2
样例解释
两个满足条件的数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

示例代码：

#include 

using namespace std;

const int N = 1010, MOD = 100000007;

int n, s, a, b;
int f[N][N];  // 前i项总和余数为j的方案数

int get_mod(int a, int b)
{
    return (a % b + b) % b;
}

int main()
{
    cin >> n >> s >> a >> b;
    
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < n; ++j)
        {
            f[i][j] = (f[i-1][get_mod(j - a * (n - i),n)] + f[i-1][get_mod(j + b * (n - i),n)]) % MOD;
        }
    }
    
    cout << f[n-1][get_mod(s,n)] << endl;
    
    return 0;
}