01 长方形内正方形与长方形的数量

在苏教版的五年级上册中，有一种经典的题目。 

“给定一格点长方形，请问在该长方形中，有多少个小格点正方形与小格点长方形？” Hcode OnlineJudge

我对这个问题写出了代码：

#include
using namespace std;
string s;
bool flag=1;
int n=0,m=0,sum,tmp1,tmp2;
int main(){
    //输入并处理数据
    cout << "长方形的宽："; 
    cin >> n;
    cout << "长方形的长：";
    cin >> m;
    n=min(n,m);
    m=max(n,m);
    //正方形
    for (int i=1;i<=n;i++)
        sum+=(n-i+1)*(m-i+1);
    cout << "这个长方形中有"<

//输入并处理数据

 

cout << "长方形的宽："; 
cin >> n;
cout << "长方形的长：";
cin >> m;
n=min(n,m);
m=max(n,m);

输入之后，为了方便，自动设成了n

格点正方形数量的计算

//正方形
for (int i=1;i<=n;i++)
    sum+=(n-i+1)*(m-i+1);
cout << "这个长方形中有"<

正方形的计算方法是：
1×1正方形的个数+2×2正方形的个数+...+n×n正方形的个数。因为正方形的边长最大只能为小的n，不能是比n还要大的数。
而在计算正方形数量时，可以使用公式表示边长为i的格点正方形数量

f[i]=(n-i+1)*(m-i+1)

i表示正方形的边长。
在(n-i+1)中，计算的是正方形的边长在大长方形的宽上共有几种可能性。
在(m-i+1)中，计算的是正方形的边长在大长方形的长上共有几种可能性。
根据乘法原理“缺一不可”的原则，将其相乘，可以得到边长为i的正方形的个数。
最后全部相加，即可得到正方形的总个数。

长方形计算方式

长方形的通项公式推导相比起正方形的通项公式推导简单一些。
由于长方形的要求没有正方形那么苟刻，可以计算长与宽的可能性，最后再相乘。
 

//长方形
for(int i=1;i<=n;i++)
    tmp1+=i;
for(int i=1;i<=m;i++)
    tmp2+=i;
printf("这个长方形中有%d个长方形（不包括正方形）\n",tmp2*tmp1-sum);
//使用printf前请导入cstdio(C语言)库

(1+2+3+···+n-1+n)*(1+2+3+···+m-1+m)

这段代码是萌新的首选，毕竟简单又明了。但这题是NOIP1997的题目，就这样未免太没有水准了。我第一次提交的时候，就有几个测试点TLE了。所以，我们需要的是时间复杂度更优的，更快捷的代码。
因此我推导出了如此算法：

//长方形
for (int i=1;i<=m;i++){
    tmp2+=i;
    if (i==n)
        tmp1=tmp2;
    }
printf("这个长方形中有%d个长方形（不包括正方形）\n",tmp2*tmp1-sum);
//使用printf前请导入cstdio(C语言)库

由于在开始时已经设置了n 在最后的算法，用tmp1×tmp2就可以得出总长方形的个数，非常没毛病。
但是，在这道题中有一道很关键的信息：不包括正方形的长方形。
因此我们需要把tmp1×tmp2的结果再减去正方形的总个数，也就是保存下来的sum。