08 特征工程 - 特征降维 - LDA

线性判断分析(LDA)： LDA是一种基于分类模型进行特征属性合并的操作，是一种有监督的降维方法。

LDA原理

LDA的全称是Linear Discriminant Analysis（线性判别分析），是一种有监督学习算法。

LDA的原理是，将带上标签的数据（点），通过投影的方法，投影到维度更低的空间中，使得投影后的点，会形成按类别区分，一簇一簇的情况，相同类别的点，将会在投影后的空间中更接近。用一句话概括就是：“投影后类内方差最小，类间方差最大”

下图中，左边的映射效果还不是很好，甚至有些分类还重合到了一起。右边的映射效果很好，达到了类内数据方差小，类与类之间方差大。

下图中的柱状图 表示有多少点落在了这一区间内。柱越高，说明这部分的数据越稠密。显然右边的方差会小于左边的方差。

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如何求解LDA问题

假定转换为w，那么线性转换函数为x’= w^Tx; 并且转换后的数据是一维的。

考虑二元分类的情况，认为转换后的值大于某个阈值，属于某个类别，小于等于某个阈值，属于另外一个类别，使用类别样本的中心点来表示类别信息，那么这个时候其实就相当于让这两个中心的距离最远：

μ_j 表示原本数据的中心点。
μ‘_j 表示原始数据经过坐标轴转换之后，新数据的中心点。

同时又要求划分之后同个类别中的样本数据尽可能的接近，也就是同类别的投影点的协方差要尽可能的小。

结合着两者，那么我们最终的目标函数就是：

对目标函数进行转换（A、B为方阵，A为正定矩阵）：

该式子和PCA降维中的优化函数一模一样，所以直接对中间的矩阵进行矩阵分解即可。

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PCA和LDA

相同点：
1、 两者均可以对数据完成降维操作。
2、 两者在降维时候均使用矩阵分解的思想。
3、 两者都假设数据符合高斯分布。

不同点：
1、 LDA是监督降维算法，PCA是无监督降维算法。
2、 LDA降维最多降到类别数目k-1的维数，而PCA没有限制。
3、 LDA除了降维外，还可以应用于分类。
4、 LDA选择的是分类性能最好的投影，而PCA选择样本点投影具有最大方差的方向。