【博弈论-完全信息动态博弈】子博弈精炼Nash均衡的应用

Stackelberg模型

Cournot模型+顺序信息=Stackelberg模型。

模型的基本假设是：

1. 企业生产的产品是同质无差异的；
2. 企业进行的是产量竞争，也就是说，企业的决策变量是产量；
3. 企业的行动顺序是有先后的，且其先后顺序由外生给定，也就是说，模型是动态的。

Stackelberg模型的子博弈精炼Nash均衡可以用逆向归纳法求解。

假设企业1先选择自己的战略，企业2观测到企业1的选择的产量后再选择自己的战略。

企业2会根据$q_1$来选择自己的产量，使自己的利润最大，则企业2的战略应该是从$Q_1\to Q_2$的函数，即$q_2:Q_1\to Q_2$。

企业1的战略就是简单地选择自己的产量$q_1$，但企业1在选择$q_1$时知道企业2将根据自己的产量来进行选择（$q_2(q_1)$），因此企业1即是选择$q_1$使得${\pi }_1(q_1,q_2(q_1))$最大。

可以看到企业1的均衡产量$\frac{1}{2}(a-c)>\frac{1}{3}(a-c)$;企业2的均衡产量$\frac{1}{4}(a-c)<\frac{1}{3}(a-c)$

利润的话也是这个规律。这说明：领头者具有“先动优势”。尾随者虽然具有信息优势，但是这种信息优势却并没有给其带来利益，反而损害了其利益。

Leontief劳资谈判模型

工会对工资水平说一不二，而企业虽然不能就工资水平与工会讨价还价，但是企业可以自由地决定雇佣的人数。

在谈判中，双方行动的时序为：

1. 工会给出工资水平$w$；
2. 企业观测到（并接受）$w$，随后选择雇佣人数$L$。

当双方选择了$w,L$之后，工会的效用水平为$U(w,L)$，企业的利润为$\pi (w,L)=R(L)-wL$，其中$R(L)$为企业雇佣人数为$L$时的收入。

工会的目标是给定企业行动的战略，选择$w$使得$U(w,L)$取得最大值；而企业的目的则是给定工会选择的工资$w$，选择$L$使得$\pi (w,L)$取得最大值。

在企业行动时，已经观察到了工会选择的工资水平$w$，因此，根据逆向归纳法，首先考察企业的选择。给定工会在第一阶段选择的工资水平$w$，企业在第二阶段选择最优的$L$以最大自己的利润，即$$\underset{L\ge 0}{\max }\pi (w,L)=R(L)-wL$$
由最优化一阶条件可得$$\frac{dR}{dL}-w=0$$

我们令$f(L)=\frac{dR}{dL}$，则可以求得最优的就业人数$L^{\ast }(w)=f^{-1}(w)$。

于是乎，这个工会早就料到了企业的这个函数，所以其优化函数为$$\underset{w\ge 0}{\max }U(w,L^{\ast }(w))$$
由最优化一阶条件得$$-\frac{\partial U/\partial w}{\partial U/\partial L}=\frac{d{L}^{\ast }}{dw}$$