机器学习 | 凸/非凸目标函数 |非凸目标函数导致求解陷入局部最优

数学中最优化问题的一般表述是求取 $x^{\ast }\in \chi$，使 $f(x^{\ast })=min\{f(x):x\in \chi \}$，其中x是n维向量，$\chi$是x的可行域，f是$\chi$上的实值函数。

凸优化问题是指$\chi$是闭合的凸集且f是$\chi$上的凸函数的最优化问题，这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题。

其中，$\chi$是 凸集是指对集合中的任意两点$x_1,x_2\in \chi$，有$t{x}_1+(1-t)x_2\in \chi ,t\in [0,1]$，即任意两点的连线段都在集合内，直观上就是集合不会像下图那样有“凹下去”的部分。至于闭合的凸集，则涉及到闭集的定义，而闭集的定义又基于开集，比较抽象，不赘述，这里可以简单地认为闭合的凸集是指包含有所有边界点的凸集。


为什么要求是凸函数呢？因为如果是下图这样的函数，则无法获得全局最优解。

为什么要求是凸集呢？因为如果可行域不是凸集，也会导致局部最优

实际建模中判断一个最优化问题是不是凸优化问题一般看以下几点：

• 目标函数f如果不是凸函数，则不是凸优化问题
• 决策变量x中包含离散变量（0-1变量或整数变量），则不是凸优化问题
• 约束条件写成$g(x)\le 0$时，g如果不是凸函数，则不是凸优化问题

之所以要区分凸优化问题和非凸的问题原因在于凸优化问题中局部最优解同时也是全局最优解，这个特性使凸优化问题在一定意义上更易于解决，而一般的非凸最优化问题相比之下更难解决。

非凸优化问题如何转化为凸优化问题的方法：
1）修改目标函数，使之转化为凸函数
2）抛弃一些约束条件，使新的可行域为凸集并且包含原可行域