HDU2829

题目大意：给定一个长度为n的序列，至多将序列分成m+1段，每段序列都有权值，权值为序列内两个数两两相乘之和。m<=n<=1000.

分析：令w[i,j]表示区间[i,j]中两两乘积之和,f[i][j]表示前j个数分成i段的最小值。

f[i][j]=f[i-1][k]+w[k+1,j]

w[k+1,j]可以转换为w[1,j]-w[1,k]-sum[k]*(sum[j]-sum[k])

其中sum[j]表示前j个数的前缀和。

f[i][j]=f[i-1][k]+w[j]-w[k]-sum[k]*(sum[j]-sum[k])

令y=f[i-1][k]+w[j]-w[k]+sum[k]^2,x=sum[k],b=sum[j],g=f[i][j],则有：

          y-bx=g

 此为直线方程，b为定值，要求g最小，即为直线的截距最小。平面上有若干点(x,y),这些点是由各个决策点产生的。而将直线从下往上平移，它接触到的第一个点即为最佳决策点。因为斜率b是上升的，所以，下一阶段的直线方程斜率更高，于是最佳决策点一定形成了下凸包序列。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#define MAXN 1005

#define LL long long int

LL f[MAXN][MAXN],w[MAXN],sum[MAXN];

#define FZ(i,p) (f[i-1][p]-w[p]+sum[p]*sum[p])

int n,m,num[MAXN];

int que[MAXN],head,tail;

#define MAXZ (1LL<<22)

bool turnup(int i,int p1,int p2,int p3) //p1>p2>p3 

{

    LL y1=FZ(i,p1);

    LL x1=sum[p1];

    LL y2=FZ(i,p2);

    LL x2=sum[p2];

    LL y3=FZ(i,p3);

    LL x3=sum[p3];

    if((x2-x3)*(y1-y2)>(x1-x2)*(y2-y3))return 1;

        else return 0;

}

int main()

{

    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&(n||m))

    {

        memset(sum,0,sizeof sum);

        memset(w,0,sizeof w);

    m++;

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {scanf("%d",&num[i]);

     sum[i]=sum[i-1]+num[i];

        w[i]=w[i-1]+sum[i-1]*num[i];

    }

    for(int i=1;i<=n;i++)

        f[1][i]=w[i];

    for(int i=2;i<=m;i++)

    {

        //f[i-1][i-1]=0;

        head=tail=1;

        que[tail++]=i-1;

        for(int j=i;j<=n;j++)

        {

            while(head<tail-1&&FZ(i,que[head+1])-FZ(i,que[head])<sum[j]*(sum[que[head+1]]-sum[que[head]]))head++;

            int k=que[head];

            f[i][j]=f[i-1][k]+w[j]-w[k]-sum[k]*(sum[j]-sum[k]);

            while(head<tail-1&&turnup(i,j,que[tail-1],que[tail-2])==0)

                tail--;

            que[tail++]=j;

        }

    }

    /*

    for(int i=1;i<=m;i++)

    {for(int j=1;j<=n;j++)

            printf("%I64d ",f[i][j]);

        printf("\n");

    }

    */

    printf("%I64d\n",f[m][n]);

}

}

 

本题也可以用平行四边形优化。

f[i][j]=f[i-1][k]+w[k+1,j]

w[k+1,j]很明显满足区间包含性质和平行四边形性质,所以f[i][j]也满足平行四边形性质，所以设s[i][j]表示f[i][j]的最佳决策点。s[i-1][j]<=s[i][j]<=s[i][j+1]。

从常识角度来思考，也是比较好想的。

如果数组元素不变，分段数增加，肯定分界点会往两边扩展，若分段数减少，则分界点会往中间靠拢，所以s[i][j]<=s[i+1][j]

如果分段数不变，数的个数增加（右边补充进来），分界点应该往右微调；如果数的个数减少（从右边剔除），分界点应该往左微调，所以有s[i][j-1]<=s[i][j]

所以s[i-1][j]<=s[i][j]<=s[i][j+1]

 1 #include<iostream>

 2 #include<cstring>

 3 #include<cstdio>

 4 #define MAXN 1005

 5 #define MAXM 1005

 6 #define LL long long int

 7 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))

 8 LL f[MAXN][MAXM],sum[MAXN],w[MAXN],s[MAXN][MAXM];

 9 int num[MAXN],t,n,m;

10 using namespace std;

11 void pre()

12 {

13     for(int i=1;i<=n;i++)

14         sum[i]=sum[i-1]+num[i];

15     for(int i=1;i<=n;i++)

16         w[i]=w[i-1]+sum[i-1]*num[i];

17     }

18 int main()

19     {

20         while(scanf("%d%d",&n,&m)&&(n||m))

21         {

22             m++;

23             for(int i=1;i<=n;i++)

24                 scanf("%d",&num[i]);

25             memset(f,0x3f,sizeof f);

26             pre();

27             for(int i=1;i<=n;i++)

28             {for(int j=i;j<=n;j++)

29                     s[i][j]=i-1;

30             }

31             for(int i=1;i<=n;i++)

32                 s[i][m+1]=i-1;

33             for(int i=1;i<=n;i++)

34                 f[i][i]=0;

35             for(int j=1;j<=n;j++)

36                 f[j][1]=w[j];

37             

38             for(int i=1;i<=n;i++)

39                 for(int j=min(m,i);j>=1;j--)

40                 {

41                     for(int k=s[i][j+1];k>=s[i-1][j];k--)

42                     {

43                         LL temp=f[k][j-1]+w[i]-w[k]-sum[k]*(sum[i]-sum[k]);

44                         if(f[i][j]>temp)

45                         {f[i][j]=temp;

46                             s[i][j]=k;

47                         }

48                     }

49                 }

50                 printf("%I64d\n",f[n][m]);

51             }

52         }

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