史上最系统的的竞赛图讲解：学透竞赛图看这一篇就够了！

定义

任意两点之前有且仅有一条边的有向图。即有向完全图。

赢的点连向输的点，一条边表示一个胜负关系。

性质

一、兰道定理（竞赛图的判定）

比分序列：将每个点的出度从小到大排序的序列。

定理内容：

设s是图G的比分序列。

G是竞赛图的充要条件为：

$$\begin{gathered} 1<=k<=n \\ {\sum }_{i=1}^k{s}_i>=C_k^2 \end{gathered}$$

并且k=n时取等。

实质上是：

对于每个点的出度之和总是大于等于下界，并且最后取等，那么图是竞赛图。

定理证明

必要性显然，任意一个竞赛图都满足兰道定理。

充分性证明：

证明对于一个满足兰道定理的比分序列s对应一个竞赛图。

考虑构造法，现有一个所有点i都像j

考虑说明调整一定步数之后u能变成s。

u实质上是比分序列前缀和的下界，每一次都能取等。

现在有

$$\begin{gathered} 1<=k<=n \\ {\sum }_{i=1}^k{s}_i>={\sum }_{i=1}^k{u}_i \end{gathered}$$

考虑第一步：

在u中找到一个$u_i<s^{}$