范畴论系列（三）子范畴

子范畴

子范畴的概念和例子

在上一节，我们已经举例说明了范畴之间的包含关系（群范畴 Grp 中的交换群范畴 Ab，拓扑空间范畴 Top 中的紧致 Hausdorff 范畴 HComp），这一节我们进一步思考这种关系。

定义

1. 如果满足以下条件，称范畴 \(\textbf{A}\) 是范畴 \(\textbf{B}\) 的子范畴：

   • (a) \(Ob(\textbf{A}) \subseteq Ob(\textbf{B})\)，
   • (b) 对于每个 \(A, A_0 \in Ob(\textbf{A})\)，\(hom_{\textbf{A}}(A, A_0) \subseteq hom_{\textbf{B}}(A, A_0)\)，
   • (c) 对于每个 \(\textbf{A}\) - 对象 \(A\)，范畴 \(\textbf{B}\) 中关于 \(A\) 的恒同态射也是范畴 \(\textbf{A}\) 中关于 \(A\) 的恒同态射，
   • (d) 范畴 \(\textbf{A}\) 中的复合法则是将范畴 \(\textbf{B}\) 中的复合法则限制在 \(\textbf{A}\) 的态射上得到的。
2. 如果除了上述条件外，对于任意 \(A, A_0 \in Ob(\textbf{A})\) 都有 \(hom_{\textbf{A}}(A, A_0) = hom_{\textbf{B}}(A, A_0)\)，则称 \(\textbf{A}\) 是 \(\textbf{B}\) 的全子范畴。

注释

1. 由于全子范畴的性质，范畴 \(\textbf{B}\) 的全子范畴可以通过在 \(\textbf{B}\) 中指定其对象类别来指定。
2. 请注意，定义的第一部分 (a)，(b)，和 (d) 条件并不蕴含 (c)。
3. 如果 \(F: \textbf{A} \to \textbf{B}\) 是一个全函子或者在对象上是单射的，那么 \(\textbf{A}\) 在 \(F\) 下的像是 \(\textbf{B}\) 的一个子范畴。然而，对于任意的函子 \(F: \textbf{A} \to \textbf{B}\)，\(F\) 下 \(\textbf{A}\) 的像未必是 \(\textbf{B}\) 的一个子范畴。

例子

1. 对于任意范畴 \(A\)，空范畴和 \(A\) 本身都是 \(A\) 的全子范畴。
2. 所有 Hausdorff 空间构成 \(\text{Top}\) 的全子范畴 \(\text{Haus}\)；类似地，所有 Tychonoff 空间（即完全正则的 T 1 空间）构成 \(\text{Haus}\) 的全子范畴 \(\text{Tych}\)；\(\text{HComp}\) 是 \(\text{Tych}\) 的全子范畴。
3. 所有预序集合（即配备了自反且传递关系的集合）确定了 \(\text{Rel}\) 的全子范畴 \(\text{Prost}\)。所有偏序集合（即配备了自反、传递和反对称关系的集合）确定了 \(\text{Prost}\) 的全子范畴 \(\text{Pos}\)。由此构成的格范畴 \(\text{Lat}\)，其中格是指每对元素都有 meet 和 join，以及所有保持 meet 和 join 的格同态，是 \(\text{Pos}\) 的非全子范畴。完备格范畴 \(\text{JCPos}\)，包括所有完备格和保持 join 的映射，是 \(\text{Pos}\) 的非全子范畴。完备格范畴 \(\text{CLat}\)，包括所有完备格和保持 meet 和 join 的映射，是 \(\text{JCPos}\) 的非全子范畴，其对象类别与 \(\text{JCPos}\) 相同。
4. 群范畴 \(\text{Grp}\) 是所有幺半群（即带有单位的半群）和幺半群同态构成的 \(\text{Mon}\) 的全子范畴。\(\text{Mon}\) 是所有半群和半群同态构成的 \(\text{Sgr}\) 的非全子范畴。
5. \(\text{Ban}\) 是 \(\text{Banb}\) 的非全子范畴，其对象类别相同。
6. 作为范畴看待的幺半群 \(M\) 的子范畴，就是空范畴和 \(M\) 的子幺半群。

补充
在代数学中，格（Lattice）是一个特殊的代数结构，它包含一个偏序集合，其中任意两个元素都有最小上界（join）和最大下界（meet）。具体来说，给定一个集合 \(L\) 和其上的偏序关系 \(\leq\)，如果对于任意 \(a, b \in L\)，存在 \(c = a \vee b\) 使得 \(a \leq c\) 且 \(b \leq c\)，以及存在 \(d = a \wedge b\) 使得 \(d \leq a\) 且 \(d \leq b\)，则称 \((L, \leq)\) 是一个格。

这里的符号 \(\vee\) 表示 join（最小上界），符号 \(\wedge\) 表示 meet（最大下界）。这些运算需要满足结合律、交换律以及吸收律等性质。

在格中，还可以定义其他重要的概念，比如：

1. 上确界和下确界： 对于集合 \(S \subseteq L\)，其上确界（supremum，或称为上界）是 \(S\) 中所有元素的最小上界，记作 \(\sup S\)；下确界（infimum，或称为下界）是 \(S\) 中所有元素的最大下界，记作 \(\inf S\)。
2. 完备格： 如果对于 \(L\) 的任意子集 \(S\)，\(S\) 中的任意非空子集都有上确界和下确界，那么称格 \(L\) 是完备格。
3. 格同态： 设 \((L, \leq)\) 和 \((L', \leq')\) 是两个格，一个映射 \(f: L \to L'\) 被称为格同态，如果对于任意 \(a, b \in L\)，有 \(f(a \vee b) = f(a) \vee' f(b)\) 和 \(f(a \wedge b) = f(a) \wedge' f(b)\)。

关于含入函子的讨论

在范畴论中，子范畴是一种重要的结构，它提供了在给定范畴中局部研究某些对象和态射的方式。下面我们讨论子范畴与含入函子的关系。

对于范畴 \(B\) 的每个子范畴 \(A\)，都存在一个自然关联的含入函子 \(E: A \hookrightarrow B\)。对于含入函子我们不难证明：

• 它是一个嵌入，
• 当且仅当 \(A\) 是 \(B\) 的全子范畴时，该函子是一个全函子。

命题

(1) 一个从范畴 A 到 B 的函子 F 是一个 （全）嵌入（embedding），当且仅当存在范畴 B 的一个（全）子范畴 C，含入函子 E : C → B 和一个同构函子 G : A → C，使得 F = E ∘ G。换句话说，以下图表交换：

$$ \begin{array}{ccc} A & \overset{F}{\longrightarrow} & B \\ \downarrow & & \uparrow_{E} \\ A & \underset{G}{\longrightarrow} & C \\ \end{array} $$

(2) 一个从范畴 A 到 B 的函子 F 是忠实的，当且仅当存在嵌入 \(E_{2}: D \to B\) 和 \(E_{1} : A → C\)，以及一个等价函子 \(G : C → D\)，使得下面的图表交换：

$$ \begin{array}{ccc} A & \overset{F}{\longrightarrow} & B \\ \downarrow_{E_{1}} & & \uparrow_{E_{2}} \\ C & \underset{G}{\longrightarrow} & D \\ \end{array} $$

定义

我们说范畴A是范畴B的全嵌入，如果存在一个全嵌入函子 \(A\to B\) 或者范畴A同构于范畴B的一个全子范畴。

注解

因为全子范畴是由其对象类别确定的，它们通常被视为 " 对象的属性 "。由于大多数有趣的属性 P 满足这样的条件，即当对象 A 具有属性 P 时，与 A 同构的每个对象也具有 P，我们通常要求全子范畴具有以下定义的 "同构封闭" 属性。

定义

一个范畴 B 的全子范畴 A 被称为：

1. 同构封闭（isomorphism-closed）：如果 B 中每个与 A 中对象同构的对象都在 A 中。
2. 同构稠密（isomorphism-dense）：如果 B 中每个对象都能在 A 中找到对应的同构对象。

这两个概念反映了同构的局部性和整体性，同构封闭关注的是同构关系下对象的结构保持；同构稠密关注的是每个对象都有同构对应的情况，不一定要求在结构上保持。

备注

如果 A 是 B 的全子范畴，则以下条件等价：

• (1) A 是 B 的同构稠密子范畴，
• (2) 含入函子 \(A \hookrightarrow B\) 是同构稠密的，
• (3) 含入函子 \(A \hookrightarrow B\) 是一个等价函子。

例子

在集合范畴Set 中，以自然数集 N 为单一对象的全子范畴既不是同构封闭的也不是同构稠密的，它与由所有可数无穷集合组成的全子范畴等价，这个全子范畴在 Set 上是同构封闭的。有时我们希望考虑这样的全子范畴，其中任意两个对象都不同构。

定义

一个范畴的骨架是一个同构稠密的全子范畴，其中任意两个对象都不同构。

例子

1. 由全体基数构成的全子范畴是集合范畴 Set 的一个骨架。
2. 由全体基数确定的幂集 \(R^m\)（其中 m 取遍所有基数）构成的全子范畴是向量空间范畴 Vec 的一个骨架。

命题

(1) 每个范畴都有一个骨架。
(2) 一个范畴的任意两个骨架是同构的。
(3) 一个范畴 \(\textbf{C}\) 的任何骨架都与 \(\textbf{C}\) 是等价的。

证明

(1) 类似集合论中使用等价关系的选择公理构造商集的做法，可以证明该命题。
(2) 要证明同构性，只需证明

• 对象上同构：给定范畴 \(C\) 的骨架 \(C_1\) 和 \(C_2\)，对于 \(C_1\) 中的每个对象 \(A\)，由骨架的定义可知：在 \(C_2\) 中唯一存在一个与 \(A\) 同构的对象，记为 \(F(A)\)。

• 态射集上是全的，遗忘的：考虑\(F:hom_{C_1}(A,A')\to hom_{C_2}(B,B')\),对于\(C_1\)中的对象 A 和 A‘，必然存在\(f_{A}:A\to F(A)\) 和 \(f_{A'}:A'\to F(A')\) ,于是有：

  $$ F(A \xrightarrow{h} A') = F(A) \xrightarrow{f_{A}^{-1}} A \xrightarrow{h} A' \xrightarrow{f_{A'}} F(A') $$

  由骨架的定义可知：复合态射\(F(A)\to F(A')\)一定属于\(hom_{C_2}(B,B')\),即对于\(hom_{C_1}(A,A')\)中的任意态射 h，都可以在\(hom_{C_2}(B,B')\)中找到态射与 h 对应，这就证明了全性。同理可证遗忘性。

(3) 直接利用结论：同构致密的全子范畴与原范畴等价

推论

两个范畴等价当且仅当它们的骨架同构。