魔术《守岁共此时》揭秘

魔术介绍

魔术《守岁共此时》是 $2024$ 年春节联欢晚会上刘谦表演的魔术。刘谦共表演了两个魔术，其中的第二个魔术为观众共同参与的魔术。

第二个魔术的操作内容如下。

1. 任取 $4$ 张牌，打乱顺序。
2. 将 $4$ 张牌撕开，变成 $8$ 个小张，按同一个方向放置。放置之后得到 $8$ 个小张组成的牌叠，上面 $4$ 张为 $4$ 张牌的上半部分，下面 $4$ 张为 $4$ 张牌的下半部分，且上面 $4$ 张与下面 $4$ 张的相对顺序相同。
3. 根据每个人的姓名字数 $x$，每次将牌叠最上面的牌放到最下面，重复 $x$ 次该操作。
4. 拿起牌叠最上面的 $3$ 张牌，插进牌叠的中间任意位置。
5. 拿起牌叠最上面的 $1$ 张牌，藏在其他地方。
6. 拿起牌叠最上面的 $1$ 到 $3$ 张牌，插进牌叠的中间任意位置。具体数量为：南方人拿 $1$ 张，北方人拿 $2$ 张，不确定者拿 $3$ 张。
7. 拿起牌叠最上面的 $1$ 到 $2$ 张牌，丢弃。具体数量为：男生拿 $1$ 张，女生拿 $2$ 张。
8. 每次将牌叠最上面的牌放到最下面，重复 $7$ 次该操作。
9. 每次将牌叠最上面的牌放到最下面，然后把牌叠最上面的牌丢弃，直到剩下 $1$ 张牌。由于第 $7$ 步男生丢弃的牌比女生少 $1$ 张，因此第 $9$ 步男生需要多执行 $1$ 次操作。
10. 剩余的 $1$ 张牌与第 $5$ 步藏起的牌匹配。

魔术分析

将 $4$ 张牌分别记为 $\text{A}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$，撕开后 $\text{A}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$ 各有 $2$ 张。经过前 $2$ 步操作之后，牌叠顺序是 $\text{ABCDABCD}$，满足同一张牌的 $2$ 个半张在牌叠中的距离为 $4$。本文中，牌叠顺序都是从上到下的顺序。

第 $3$ 步操作后的牌叠顺序取决于 $x$ 除以 $4$ 的余数，具体如下。

• 当 $x$ 除以 $4$ 余 $0$ 时，第 $3$ 步操作后的牌叠顺序是 $\text{ABCDABCD}$。

• 当 $x$ 除以 $4$ 余 $1$ 时，第 $3$ 步操作后的牌叠顺序是 $\text{BCDABCDA}$。

• 当 $x$ 除以 $4$ 余 $2$ 时，第 $3$ 步操作后的牌叠顺序是 $\text{CDABCDAB}$。

• 当 $x$ 除以 $4$ 余 $3$ 时，第 $3$ 步操作后的牌叠顺序是 $\text{DABCDABC}$。

虽然可能有 $4$ 种不同的牌叠顺序，但是都满足同一张牌的 $2$ 个半张在牌叠中的距离为 $4$。以下考虑第 $3$ 步操作后的牌叠顺序为 $\text{ABCDABCD}$ 的情况，对于其他牌叠顺序的情况也适用。

第 $4$ 步操作之后，牌叠最上面的牌与最下面的牌都是 $\text{D}$，中间的牌的顺序是任意的。

第 $5$ 步操作将牌叠最上面的牌藏在其他地方，藏起的牌是 $\text{D}$。第 $5$ 步操作之后，牌叠还有 $7$ 张牌。

第 $6$ 步操作会改变牌叠的上面 $6$ 张牌的顺序，牌叠最下面的牌仍是 $\text{D}$。第 $6$ 步操作之后，将牌叠顺序记为 $\text{EFGHIJD}$。

第 $7$ 步操作将牌叠最上面的 $1$ 到 $2$ 张牌丢弃，男生丢弃 $1$ 张牌，女生丢弃 $2$ 张牌。第 $7$ 步操作之后，男生的牌叠还有 $6$ 张牌，牌叠顺序是 $\text{FGHIJD}$，女生的牌叠还有 $5$ 张牌，牌叠顺序是 $\text{GHIJD}$。

第 $8$ 步操作将牌叠最上面的 $7$ 张牌放到最下面。第 $8$ 步操作之后，男生的牌叠顺序是 $\text{GHIJDF}$，女生的牌叠顺序是 $\text{IJDGH}$。

第 $9$ 步操作时，男生需要丢弃 $5$ 张牌，女生需要丢弃 $4$ 张牌。男生和女生的每次操作之后的牌叠顺序变化如下。

• 男生：$\text{GHIJDF}\to \text{HIJDFG}\to \text{IJDFG}\to \text{JDFGI}\to \text{DFGI}\to \text{FGID}\to \text{GID}\to \text{IDG}\to \text{DG}\to \text{GD}\to \text{D}$。

• 女生：$\text{IJDGH}\to \text{JDGHI}\to \text{DGHI}\to \text{GHID}\to \text{HID}\to \text{IDH}\to \text{DH}\to \text{HD}\to \text{D}$。

第 $9$ 步操作之后，剩余的 $1$ 张牌是 $\text{D}$，与第 $5$ 步藏起的牌匹配。

整个魔术过程中，关键的操作有第 $4$ 步操作、第 $5$ 步操作、第 $7$ 步操作、第 $8$ 步操作和第 $9$ 步操作，关键操作决定了待匹配的牌 $\text{D}$ 的位置与剩余牌的数量。

推广到约瑟夫问题

约瑟夫问题与求解

魔术的第 $9$ 步操作可以推广到一般形式：有 $n$ 张牌围成一个圆圈，按顺时针顺序的编号依次是 $1$ 到 $n$，从编号 $1$ 的牌开始，每次向顺时针方向数 $k$ 张牌并将第 $k$ 张牌丢弃，直到最后只剩余 $1$ 张牌，需要计算剩余的牌的编号。该问题为经典的约瑟夫问题。

约瑟夫问题的解法有多种。最简单的解法是模拟，时间复杂度是 $O(nk)$，空间复杂度是 $O(n)$。更优的解法是数学解法，时间复杂度是 $O(n)$，数学解法可以使用递归或迭代实现，递归实现的空间复杂度是 $O(n)$，迭代实现的空间复杂度是 $O(1)$。

用 $f(n,k)$ 表示约瑟夫问题的解。可以使用递归的方式计算 $f(n,k)$。

递归的基准情形是 $n=1$，此时圆圈中只有 $1$ 张编号是 $1$ 的牌，因此 $f(1,k)=1$。

当 $n>1$ 时，记 $\text{prevRemain}=f(n-1,k)$，则 $\text{prevRemain}$ 为 $n-1$ 张牌中剩余的牌。如果 $n$ 张牌的起始牌的编号是 $1$，则首张被丢弃的牌的编号是 $k$，剩余 $n-1$ 张牌时的起始牌的编号是 $1+k$。因此，$n$ 张牌时剩余的牌的编号是 $\text{prevRemain}$ 按顺时针方向数 $k$ 位。

由于牌的编号范围是 $[1,n]$，因此 $f(n,k)=(\text{prevRemain}+k-1)\mathrm{mod}n+1$。

迭代实现根据递归实现得到。用 $\text{winner}$ 表示剩余的牌的编号，初始时 $\text{winner}=1$。对于 $2\le i\le n$，从小到大遍历每个 $i$，并将 $\text{winner}$ 的值更新为 $(\text{winner}+k-1)\mathrm{mod}i+1$。遍历结束时，$\text{winner}$ 即为 $n$ 张牌时剩余的牌的编号。

代码实现

下面的代码为数学解法的递归实现。

class Solution {
    public int findRemainCard(int n, int k) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int prevRemain = findRemainCard(n - 1, k);
        return (prevRemain + k - 1) % n + 1;
    }
}

下面的代码为数学解法的迭代实现。

class Solution {
    public int findRemainCard(int n, int k) {
        int remain = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            remain = (remain + k - 1) % i + 1;
        }
        return remain;
    }
}