二叉搜索树题目：二叉搜索树的最近公共祖先

题目

标题和出处

标题：二叉搜索树的最近公共祖先

出处：235. 二叉搜索树的最近公共祖先

难度

3 级

题目描述

要求

给定一个二叉搜索树，找到该树中两个指定结点的最近公共祖先。

最近公共祖先的定义为：两个结点 $\text{p}$ 和 $\text{q}$ 的最近公共祖先是满足 $\text{p}$ 和 $\text{q}$ 都是其后代的最低的结点 $\text{T}$（一个结点也可以是它自己的祖先）。

示例

示例 1：

输入：$\text{root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8}$
输出：$\text{6}$
解释：结点 $\text{2}$ 和结点 $\text{8}$ 的最近公共祖先是结点 $\text{6}$。

示例 2：

输入：$\text{root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4}$
输出：$\text{2}$
解释：结点 $\text{2}$ 和结点 $\text{4}$ 的最近公共祖先是结点 $\text{2}$。因为根据定义最近公共祖先结点可以为结点本身。

示例 3：

输入：$\text{root = [2,1], p = 2, q = 1}$
输出：$\text{2}$

数据范围

• 树中结点数目在范围 ${\text{[2, 10}}^{\text{5}}\text{]}$ 内
• ${\text{-10}}^{\text{9}}\le \text{Node.val}\le {\text{10}}^{\text{9}}$
• 所有 $\text{Node.val}$ 各不相同
• $\text{p}\ne \text{q}$
• $\text{p}$ 和 $\text{q}$ 均存在于给定的二叉搜索树中

解法一

思路和算法

如果结点 $p$ 和 $q$ 之间的关系是祖先和后代的关系，则其中的祖先即为最近公共祖先。如果结点 $p$ 和 $q$ 之间的关系不是祖先和后代的关系，则结点 $p$ 和 $q$ 分别在最近公共祖先的两个子树中。

对于二叉搜索树中的任意结点，其左子树中的结点值都小于当前结点值，其右子树中的结点值都大于当前结点值。首先比较根结点值和结点 $p$ 和 $q$ 的结点值，缩小寻找最近公共祖先的范围。

• 如果根结点值比结点 $p$ 和 $q$ 的结点值都大，则结点 $p$ 和 $q$ 都在根结点的左子树中，因此根结点的左子结点一定是结点 $p$ 和 $q$ 的公共祖先，应该在根结点的左子树中寻找最近公共祖先。

• 如果根结点值比结点 $p$ 和 $q$ 的结点值都小，则结点 $p$ 和 $q$ 都在根结点的右子树中，因此根结点的右子结点一定是结点 $p$ 和 $q$ 的公共祖先，应该在根结点的右子树中寻找最近公共祖先。

• 如果根结点值介于结点 $p$ 和结点 $q$ 的结点值之间（可以等于其中的一个结点值），则根结点的任何一个子结点都不可能是结点 $p$ 和 $q$ 的公共祖先，因此根结点是结点 $p$ 和 $q$ 的最近公共祖先。

上述过程是一个递归的过程。递归的终止条件是当前结点值介于结点 $p$ 和结点 $q$ 的结点值之间，此时当前结点是结点 $p$ 和 $q$ 的最近公共祖先，返回当前结点。对于其余情况，定位到最近公共祖先所在的子树，对该子树调用递归。

由于结点 $p$ 和 $q$ 都存在于给定的二叉搜索树中，因此最近公共祖先一定存在。

代码

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        int maxVal = Math.max(p.val, q.val);
        int minVal = Math.min(p.val, q.val);
        if (root.val <= maxVal && root.val >= minVal) {
            return root;
        }
        return root.val > maxVal ? lowestCommonAncestor(root.left, p, q) : lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉搜索树的结点数。时间复杂度取决于二叉搜索树的高度，最坏情况下二叉搜索树的高度是 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉搜索树的结点数。空间复杂度主要是递归调用的栈空间，取决于二叉搜索树的高度，最坏情况下二叉搜索树的高度是 $O(n)$。

解法二

思路和算法

递归实现可以改成迭代实现。从根结点开始搜索，如果当前结点值结点值比结点 $p$ 和 $q$ 的结点值都大或者都小，则执行如下操作，直到当前结点值介于结点 $p$ 和结点 $q$ 的结点值之间。

• 如果当前结点值比结点 $p$ 和 $q$ 的结点值都大，则结点 $p$ 和 $q$ 都在当前结点的左子树中，因此将当前结点移动到左子结点。

• 如果当前结点值比结点 $p$ 和 $q$ 的结点值都小，则结点 $p$ 和 $q$ 都在当前结点的右子树中，因此将当前结点移动到右子结点。

搜索结束时，当前结点为结点 $p$ 和 $q$ 的最近公共祖先，返回当前结点。

由于结点 $p$ 和 $q$ 都存在于给定的二叉搜索树中，因此最近公共祖先一定存在。

代码

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        int maxVal = Math.max(p.val, q.val);
        int minVal = Math.min(p.val, q.val);
        TreeNode node = root;
        while (node.val > maxVal || node.val < minVal) {
            if (node.val > maxVal) {
                node = node.left;
            } else {
                node = node.right;
            }
        }
        return node;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉搜索树的结点数。时间复杂度取决于二叉搜索树的高度，最坏情况下二叉搜索树的高度是 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。