算法涉及与分析1：绪论

1.1什么是算法

算法是一系列解决问题的明确指令，也就是说，对于符合一定规范的输入，能够在有限时间内获得要求的输出。

定义中使用了“指令”这个词，这意味着有人或物能够理解和执行所给的命令。我们将这种人或物称为computer。

算法靠计算机实现，但算法概念本身并不依赖于这样的假设。

为了阐明算法的概念，本节将以三种方法为例解决同一个问题，即计算两个整数的最大公约数。

算法的特点：

1. 算法的每一步都必须没有歧义，不能有半点含糊。
2. 必须认真确定算法所处理的输入的值域。
3. 同一算法可以用几种不同的形式来描述。
4. 同一问题，可能存在几种不同的算法。
5. 针对同一问题的算法基于完全不同的解题思路，而且解题速度也会有显著不同。

在《几何原本》中有一个算法，用现代数学的术语来表述，欧几里得算法采用的方法就是重复应用下列等式，直到m mod n等于0.

gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)(mod表示取余数)

因为gcd（m，0）=m，m最后的取值也就是m和n的初值的最大公约数。

下面是该算法的一个更加结构化的描述：

用于计算gcd（m，n）的欧几里得算法

第一步：如果n=0，返回m的值作为结果，同时过程结束；否则，进入第二步；

第二步：m除以n，将余数赋给r。

第三步：将n的值赋给m，将r的值赋给n，返回第一步。

用伪代码来描述：

算法  

Euclid(m,n)

//使用欧几里得算法计算gcd（m,n）

//输入：两个不全为0的非负整数m，n

//输出：m，n的最大公约数

while n≠0 do

r<-m mod n

m<-n

n<-r

return m

每次经过一次循环，参加运算的两个算子中后一个都会变得更小，而绝对不会变成负数。确实，下一次循环时，n的新值是m mod n，这个值总是比n小。所以，第二个算子的值最终会变成0，此时算法也就结束了。

就像其他许多问题一样，最大公约数也有很多种算法。还有两种方法。第一种方法只基于最大公约数的定义：m和n的最大公约数就是能够同时整除它们的最大正胜数。显然，这样一个公约数不会大于两个数中的较小值，因此，我们先有：t=min{m,n}。我们现在可以开始检查t是否能够整除m和n：如果能，t就是最大公约数；如果不能，我们将t-1，然后继续尝试。

用于计算gcd（m,n）的连续整数检查算法

第一步：将min{m,n}的值赋给t。

第二步：m除以t。如果余数为0，进入第三步；否则进入第四步

第三步：n除以t。如果余数为0，返回t的值作为结果；否则进入第四步。

第四步：把t的值减1.返回第二步。

注意，和欧几里得算法不同，按照这个算法的当前形式，当它的一个输入为0，计算出来的结果是错误的。

中学时计算gcd(m,n)的过程

第一步：找到m的所有质因数。

第二步：找到n的所有质因数。

第三步：从第一步和第二步求得的质因数分解式中找出所有的公因数（如果p是一个公因数，而且在m和n的质因数分解式分别找出出现果pm和pn次，那么应该将p重复min{pm，pn}次）。

第四步：将第三步中找到的质因数相乘，其结果作为给定数字的最大公约数。

有一个更加简单的算法，用来产生一个不大于给定整数n的连续质数序列。称为“埃拉托色尼筛选法”。该算法一开始初始化一个2～n的连续整数序列，作为候选质数。然后，在算法的第一个循环中，他将类似4和6这样的2的倍数从序列中消去。然后它指向列表中的下一个数字3，又将其倍数消去（我们这里的做法过于直接，增加了不必要的开销。因为有些数字被消了不止一次），不必处理数字4，因为4本身和它的倍数都是2的倍数，它们已经在前面的步骤中被消去了。第三步处理序列中剩余的下一个元素5.该算法以这种方法不断做下去，直至序列中已经没有可消去的元素为止。序列中剩下的整数就是我们要求得质数。

对于这个例子来说，更多步骤已经是多余了。因为它们只会消去在算法的前面循环中已经消去的数字。序列剩下的数字就是小于等于25的连续质数。

其倍数仍未消去的最大数p应该满足什么条件。注意：如果在当前步骤中，我们正在消去p的倍数，那么第一个指的考虑的倍数就是p×p，因为其他更小的倍数2p，…，（p-1）p已经在先前的步骤中从序列里消去了。显然p×p不会大于n，p也不会大于（n）1/2向下取整的值（记作⌊（n）1/2⌋，称为向下取整函数）

算法：Sieven(n)

//实现“埃拉托色尼筛选法”

//输入：一个正整数n>1