代码随想录算法训练营day44 || 52. 完全背包问题，518. 零钱兑换II，377. 组合总和 Ⅳ

视频讲解：

带你学透完全背包问题！ 和 01背包有什么差别？遍历顺序上有什么讲究？_哔哩哔哩_bilibili

动态规划之完全背包，装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II_哔哩哔哩_bilibili

动态规划之完全背包，装满背包有几种方法？求排列数？| LeetCode：377.组合总和IV_哔哩哔哩_bilibili

52. 完全背包问题

思路：与所预料的一样，就是01背包问题的重量遍历顺序从头开始遍历即可求解，另外优化的地方在于重量可以从当前物品对应的重量开始进行遍历，因此按物品外重量内的遍历顺序来遍历的话，只有j>=weights[i]才会进行递推，所以不妨直接在for循环赋值上就体现出来。

代码随想录 ==>

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

因为dp[j] 是根据下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

import java.util.*;

// 时间复杂度O(n^2)
// 空间复杂度O(n)

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int N = scanner.nextInt();
        int V = scanner.nextInt();
        int[] weights = new int[N];
        int[] values = new int[N];

        for(int i=0; i= weights[0])
                dp[0][j] = dp[0][j-weights[0]]+values[0];
        }
        for(int i=1; i= weights[i]){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-weights[i]]+values[i]);
                }
                else
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }

        System.out.println(dp[N-1][V]);
        return;
    }
}

 

518. 零钱兑换II

思路：（题目类型：放满完全背包问题），但是却是第一次遇到的存在不可放的情况的题目。由于统计的是可行的找零策略，是求组合的问题。而针对不可行数值，无需进行额外的操作，仍然保留dp[j]+=dp[j-nums[i]]的递推公式，不可找零的数值将存在传递性，可自行将当前位置的不可行传递到下一个位置。这个策略的存在为之后的 零钱兑换 提供关键的思路。

// 时间复杂度O(n^2)
// 空间复杂度O(n)

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        
        // coins的所有零钱种类作为物品数量
        int N = coins.length;
        // dp数组表示零钱i可有几种可行的找零策略
        int[] dp = new int[amount+1];
        // 固定搭配
        dp[0] = 1;
        
        // 可重复放值且组合形式的遍历
        for(int i=0; i

377. 组合总和 Ⅳ

思路：关键理解物品与重量循环顺序颠倒后，即将求组合变成了求排列。（题目类型：放满完全背包问题）

// 时间复杂度O(n^2)
// 空间复杂度O(n)

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        // dp数组的含义是容量为j的背包可以由由nums数组的元素组成的方式有几种
        int[] dp = new int[target+1];
        // 递推公式， dp[j] += dp[j-nums[i]]
        // 初始化，仅仅是为了推导
        dp[0] = 1;
        // !! 求组合，外层for循环遍历物品；求排列，则外层for循环遍历重量，从而可以使得访问物品
        // 外层for循环是物品的时候，每次更新的是整个dp，意义在于判断各个重量可以加入几个当前的nums[i]，更新的牵扯也是关联到j-nums[i]的位置，
        // 外层for循环是重量的时候，每次更新的是dp数组中的某个位置，是用所有的物品去去试探当前重量可以放入几种物品，5-2和5-3两个位置的内容会加到一个位置里面去，而上一种里面，5-2加上了dp[3]，但此时所考虑的物品仅仅是i之前的，i之后的不考虑；所以3,5都是由1和2拼出来的；只有到了3之后，才会将1,2,3三个都考虑；
        // 但是外层for循环重量的时候，是在每个重量，都去考虑1,2,3，所以5是从4,1  3,2  2,3 1,4 这样的全面进行考虑的
        for(int j=1; j<=target; j++){
            for(int i=0; i= nums[i])
                    dp[j] += dp[j-nums[i]];
        }

        return dp[target];
    }
}