C#，数值计算，矩阵的行列式（Determinant）、伴随矩阵（Adjoint）与逆矩阵（Inverse）的算法与源代码
本文发布矩阵（Matrix）的一些初级算法。
一、矩阵的行列式（Determinant）
矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(a)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(a)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kⁿ|A|，|A*|=|A|，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A|=|A|。
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/// 计算 A[p,q] 位于 [,]temp 的块辅因子
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private static void BlockCofactor(double[,] matrix, ref double[,] temp, int p, int q, int n)
{
int i = 0;
int j = 0;
for (int row = 0; row < n; row++)
{
for (int col = 0; col < n; col++)
{
if (row != p && col != q)
{
temp[i, j++] = matrix[row, col];
if (j == (n - 1))
{
j = 0;
i++;
}
}
}
}
}
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/// 求矩阵行列式（递归算法）
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public static double Determinant(int N, double[,] matrix, int n)
{
if (n == 1)
{
return matrix[0, 0];
}
double D = 0.0;
double[,] temp = new double[N, N];
int sign = 1;
for (int f = 0; f < n; f++)
{
BlockCofactor(matrix, ref temp, 0, f, n);
D += sign * matrix[0, f] * Determinant(N, temp, n - 1);
sign = -sign;
}
return D;
}
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/// 计算 A[p,q] 位于 [,]temp 的块辅因子
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private static void BlockCofactor(double[,] matrix, ref double[,] temp, int p, int q, int n)
{
int i = 0;
int j = 0;
for (int row = 0; row < n; row++)
{
for (int col = 0; col < n; col++)
{
if (row != p && col != q)
{
temp[i, j++] = matrix[row, col];
if (j == (n - 1))
{
j = 0;
i++;
}
}
}
}
}
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/// 求矩阵行列式（递归算法）
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/// 二、矩阵的伴随矩阵（Adjoint Matrix）
一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。
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/// 伴随矩阵
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public static void Adjoint(double[,] matrix, out double[,] adjoint)
{
int N = matrix.GetLength(0);
adjoint = new double[N, N];
if (N == 1)
{
adjoint[0, 0] = 1.0;
return;
}
int sign = 1;
double[,] temp = new double[N, N];
for (int i = 0; i < N; i++)
{
for (int j = 0; j < N; j++)
{
BlockCofactor(matrix, ref temp, i, j, N);
sign = ((i + j) % 2 == 0) ? 1 : -1;
adjoint[j, i] = (sign) * (Determinant(N, temp, N - 1));
}
}
}
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/// 伴随矩阵
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///
public static void Adjoint(double[,] matrix, out double[,] adjoint)
{
int N = matrix.GetLength(0);
adjoint = new double[N, N];
if (N == 1)
{
adjoint[0, 0] = 1.0;
return;
}
int sign = 1;
double[,] temp = new double[N, N];
for (int i = 0; i < N; i++)
{
for (int j = 0; j < N; j++)
{
BlockCofactor(matrix, ref temp, i, j, N);
sign = ((i + j) % 2 == 0) ? 1 : -1;
adjoint[j, i] = (sign) * (Determinant(N, temp, N - 1));
}
}
}三、矩阵的逆矩阵（Inverse Matrix）
设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。矩阵求逆，即求矩阵的逆矩阵。矩阵是线性代数的主要内容，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容，逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。
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/// 矩阵求逆
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public static bool Inverse(double[,] matrix, out double[,] inverse)
{
int N = matrix.GetLength(0);
inverse = new double[N, N];
double det = Determinant(N, matrix, N);
if (det == 0)
{
return false;
}
Adjoint(matrix, out double[,] adj);
for (int i = 0; i < N; i++)
{
for (int j = 0; j < N; j++)
{
inverse[i, j] = adj[i, j] / (double)det;
}
}
return true;
}
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/// 矩阵求逆
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/// 演算代码：
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
double[,] A = {
{5, -2, 2, 7},
{1, 0, 0, 3},
{-3, 1, 5, 0},
{3, -1, -9, 4}
};
double d = Algorithm_Gallery.Determinant(4, A, 4);
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.Append(Welcome());
sb.AppendLine("1、原始矩阵（Source Matrix）：
");
sb.Append(Algorithm_Gallery.ToHtml(A));
sb.AppendLine("行列式（Determinant）=" + d + "
");
Algorithm_Gallery.Adjoint(A, out double[,] adj);
sb.AppendLine("
2、伴随矩阵（Adjoint Matrix）：
");
sb.Append(Algorithm_Gallery.ToHtml(adj));
Algorithm_Gallery.Inverse(A, out double[,] inv);
sb.AppendLine("
3、逆矩阵（Inverse Matrix）：
");
sb.Append(Algorithm_Gallery.ToHtml(inv));
sb.Append(Bye());
webBrowser1.DocumentText = sb.ToString();
}
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
double[,] A = {
{5, -2, 2, 7},
{1, 0, 0, 3},
{-3, 1, 5, 0},
{3, -1, -9, 4}
};
double d = Algorithm_Gallery.Determinant(4, A, 4);
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.Append(Welcome());
sb.AppendLine("1、原始矩阵（Source Matrix）：
");
sb.Append(Algorithm_Gallery.ToHtml(A));
sb.AppendLine("行列式（Determinant）=" + d + "
");
Algorithm_Gallery.Adjoint(A, out double[,] adj);
sb.AppendLine("
2、伴随矩阵（Adjoint Matrix）：
");
sb.Append(Algorithm_Gallery.ToHtml(adj));
Algorithm_Gallery.Inverse(A, out double[,] inv);
sb.AppendLine("
3、逆矩阵（Inverse Matrix）：
");
sb.Append(Algorithm_Gallery.ToHtml(inv));
sb.Append(Bye());
webBrowser1.DocumentText = sb.ToString();
}打印矩阵的代码：
public static string ToHtml(double[,] y)
{
int m = y.GetLength(0);
int n = y.GetLength(1);
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.AppendLine("");
sb.AppendLine("
| " + String.Format("{0:F8}", y[i, j]) + " | ");
return sb.ToString();
}
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public static string ToHtml(double[,] y)
{
int m = y.GetLength(0);
int n = y.GetLength(1);
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.AppendLine("");
sb.AppendLine("");
for (int i = 0; i < m; i++)
{
sb.AppendLine("");
for (int j = 0; j < n; j++)
{
sb.AppendLine("" + String.Format("{0:F8}", y[i, j]) + " ");
}
sb.AppendLine(" ");
}
sb.AppendLine("
");
return sb.ToString();
}