【压缩感知基础】Nyquist采样定理

Nyquist定理，也被称作Nyquist采样定理，是由哈里·奈奎斯特在1928年提出的，它是信号处理领域的一个重要基础定理。它描述了连续信号被离散化为数字信号时，采样的要求以避免失真。

数学表示

Nyquist定理的核心内容可以描述如下：

若要对一个带宽受限的连续信号进行采样而不引起失真，采样频率（频率的单位为Hz，指每秒采样数）必须大于信号最高频率的两倍。

这个定理的数学表述为：
[f_s > 2f_{max}]
其中 (f_s) 是采样频率，(f_{max}) 是信号中的最高频率。

示例说明

让我们以测量河流流量的情况，并以具体数值形式说明。为了简化我们的例子，让我们假设以下情况：

• 在观测期间，河流流速的最快变化是在洪水期间，变化频率大约是每30分钟发生一次显著变化。
• 根据Nyquist采样定理，我们需要至少每15分钟对河流流量进行一次测量，以捕捉到每次显著的流速变化。

例证表格

现在，我们可以设定一个表格来描述我们的测量活动。表中列出了测量的时间点，流速的可能值（以每秒立方米记），以及按不同采样率可能遗漏的极端变化。

具体说明

在这个表格中，"每隔15分钟测量的流速"一栏代表了按照Nyquist采样定理推荐的采样频率进行测量可能得到的数据，在这种情况下我们能够很好地捕捉到流速的变化。

相比之下，"每隔1小时测量的流速"一栏则表示了采样频率低于建议水平的情况下可能得到的数据。由于测量的次数减少，我们无法完整地捕捉到所有的流速变化，尤其是那些在相邻测量点之间发生的极端变化。例如，在08:00至09:00这段时间内，真实的流量极值在08:30达到了560立方米/秒，但由于只在08:00和09:00测量，这个峰值被遗漏了。

"真实流速极值"一栏展示了实际中河流在不同时间点的最大流量值，这些值在实际应用中可能是通过连续监测或使用更频繁的采样所获得的。这一栏用于参考，显示了由于采样率不足而可能遗漏的流量信息。

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